有时数字数据成对出现。也许有一位古生物学家测量了同一恐龙物种的五块化石中股骨（腿骨）和肱骨（肱骨）的长度。从臂长的角度考虑手臂长度可能是有意义的，并且计算诸如平均值或标准偏差之类的东西。但是，如果研究人员好奇地想知道这两个测量值之间是否有关系呢？仅仅看手臂和腿是不够的。相反，古生物学家应该对每个骨骼的骨骼长度进行配对，并使用一个称为相关性的统计区域。

什么是相关性？在上面的例子中，假设研究人员研究了数据，得出了一个并不令人惊讶的结果，即长臂恐龙化石的腿也更长，短臂恐龙化石的腿更短。数据散点图显示数据点都聚集在一条直线附近。然后，研究人员会说，这些化石的臂骨和腿骨的长度之间存在着很强的直线关系或相关性。要说这种相关性有多强，还需要做更多的工作。

相关和散点图

因为每个数据点代表两个数字，所以二维散点图对可视化数据非常有帮助。假设我们实际掌握了恐龙数据，五块化石的测量结果如下：

1. 股骨50厘米，肱骨41厘米
2. 股骨57厘米，肱骨61厘米
3. 股骨61厘米，肱骨71厘米
4. 股骨66厘米，肱骨70厘米
5. 股骨75厘米，肱骨82厘米

数据的散点图，水平方向的股骨测量值和垂直方向的肱骨测量值，形成上图。每个点代表一个骨架的测量值。例如，左下角的点对应于骨架#1。右上角的点对应于骨架#5。

看起来我们可以画一条直线，非常接近所有的点。但我们如何才能确定呢？亲密在旁观者的眼中。我们如何知道我们对“亲密度”的定义与其他人相符？我们有没有办法量化这种亲密程度？

相关系数

为了客观地衡量数据与直线的接近程度，相关系数起到了帮助作用。相关系数，通常表示为r，是一个介于-1和1之间的实数。r的值根据公式测量相关性的强度，消除了过程中的任何主观性。在解释r的值时，有几个准则需要牢记。

• 如果r=0，则点是一个完全的混乱，数据之间绝对没有直线关系。
• 如果r=-1或r=1，则所有数据点完美地排列在一条线上。
• 如果r不是这些极端值，则结果是直线的不完美拟合。在现实世界的数据集中，这是最常见的结果。
• 如果r为正，则直线以正斜率向上移动。如果r为负，则直线以负斜率向下移动。

相关系数的计算

相关系数r的公式很复杂，如图所示。公式的成分是两组数值数据的平均值和标准偏差，以及数据点的数量。对于大多数实际应用来说，手工计算r是很乏味的。如果我们的数据已经通过统计命令输入到计算器或电子表格程序中，那么通常有一个内置函数来计算r。

相关性的局限性

尽管相关性是一个强大的工具，但使用它也有一些局限性：

• 相关性并不能完全告诉我们关于数据的一切。均值和标准差仍然很重要。
• 数据可以用比直线更复杂的曲线来描述，但这不会在r的计算中显示出来。
• 异常值强烈影响相关系数。如果我们在数据中看到任何异常值，我们应该注意从r值得出的结论。
• 仅仅因为两组数据是相关的，并不意味着一组是另一组的原因。