标准偏差何时等于零？
样本标准差是一种描述性统计，用于测量定量数据集的传播。这个数字可以是任何非负实数。由于零是一个非负实数，因此值得一问，“样本标准偏差何时等于零？”这发生在非常特殊和非常不寻常的情况下，即我们所有的数据值完全相同。我们将探讨原因。
标准偏差说明
关于数据集，我们通常要回答的两个重要问题包括：
- 数据集的中心是什么？
- 数据集的分布情况如何？
有不同的测量方法，称为描述性统计，可以回答这些问题。例如，数据的中心，也称为平均值，可以用平均值、中值或模式来描述。其他不太为人所知的统计数据也可以使用，如中铰链或trimean。
为了扩展我们的数据，我们可以使用范围、四分位范围或标准差。标准偏差与平均值配对，以量化数据的传播。然后我们可以使用这个数字来比较多个数据集。我们的标准偏差越大，则价差越大。
直觉
让我们从这个描述中考虑一下，标准偏差为零意味着什么。这表明在我们的数据集中根本没有传播。所有单个数据值将聚集在一个值上。由于我们的数据只有一个值，因此该值将构成我们样本的平均值。
在这种情况下，当我们所有的数据值都相同时，就不会有任何变化。直观地说，这样一个数据集的标准偏差为零是有道理的。
确实的证据
样本标准偏差由公式定义。因此，任何像上面这样的陈述都应该用这个公式来证明。我们从符合上述描述的数据集开始：所有值都是相同的，有n个值等于x。
我们计算该数据集的平均值，并确定其为
x=（x+x+…+x）/n=nx/n=x。
现在当我们计算平均值的个别偏差时，我们看到所有这些偏差都是零。因此，方差和标准偏差也都等于零。
充分必要
我们看到，如果数据集没有显示任何变化，那么其标准偏差为零。我们可能会问，这句话的反面是否也是正确的。如果是，我们将再次使用标准偏差公式。但是，这次我们将标准偏差设置为零。我们不会对数据集进行任何假设，但会看到设置s=0意味着什么
假设数据集的标准偏差等于零。这意味着样本方差s2也等于零。结果是方程：
0=（1/（n-1））∑ （xi-x）2
我们将方程的两边乘以n-1，发现偏差的平方和等于零。因为我们使用的是实数，所以出现这种情况的唯一方法是使每一个平方偏差都等于零。这意味着对于每个i，项（xi-x）2=0。
我们现在取上面方程的平方根，看到与平均值的每一个偏差都必须等于零。既然我，
xi-x=0
这意味着每个数据值都等于平均值。这个结果和上面的结果一起允许我们说，当且仅当数据集的所有值都相同时，数据集的样本标准偏差为零。
- 发表于 2021-09-23 19:18
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- 分类：数学
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