标准差(standard deviation)和方差(variance)的区别

标准差和方差的公式通常表示为：...

标准差和方差是数据离散度的统计度量数据也就是说，它们表示与平均值有多大的差异，或者值通常“偏离”平均值的程度平均值. 方差或标准差为零表示所有值都相同。

方差是方差平方的平均值（即值与平均值的差值），标准差是方差的平方根。标准差用于识别数据中的异常值。

对比图

标准差与方差比较图

	标准差	方差
数学公式	方差平方根	样本中每个值与平均值的偏差平方的平均值。
符号	希腊文字母西格玛-σ	无专用符号；用标准差或其它值表示。
与给定数据集相关的值	与给定数据集中的值相同的标度；因此，用相同的单位表示。	比例尺大于给定数据集中的值；不是用与值本身相同的单位表示的。
值是负值还是正值？	总是非负的	总是非负的
实际应用程序	人口抽样；识别异常值	统计公式，金融。

重要概念

平均值：数据集中所有值的平均值（将所有值相加，再除以值的个数）。
偏差：每个值与平均值的距离。如果平均值为3，则值5的偏差为2（从值中减去平均值）。偏差可以是正的，也可以是负的。

符号

标准差和方差的公式通常表示为：

十̅ = 问题中所有数据点的平均值
X=单个数据点
N=数据集中的点数
∑ = [偏差的平方]之和

公式

一组n个等概率值的方差可以写成：

$\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2.$

标准偏差是方差的平方根：

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}.$

带有希腊字母的公式看起来令人望而生畏，但这并不像看上去那么复杂。简单来说：

求所有数据点的平均值
找出每个点离平均值有多远（这是偏差）
每个偏差的平方（即每个值与平均值的差值）
平方和除以点数。

这就是方差。取方差的平方根求标准差。

这段来自Khan Academy的精彩视频解释了方差和标准差的概念：

例子

假设一个数据集包括6个蒲公英的高度：3英寸、4英寸、5英寸、4英寸、11英寸和6英寸。

首先，找出数据点的平均值：（3+4+5+4+11+7）/6=5.5

所以平均身高是5.5英寸。现在我们需要偏差，所以我们找到了每种植物与平均值的差异：-2.5，-1.5，-.5，-1.5，5.5，1.5

现在求每个偏差的平方和：6.25+2.25+0.25+2.25+30.25+2.25=43.5

现在将平方和除以数据点的数量，在本例中为植物：43.5/6=7.25

所以这个数据集的方差是7.25，这是一个相当任意的数字。要将其转换为实际测量值，请取7.25的平方根，以英寸为单位计算标准偏差。

标准偏差约为2.69英寸。这意味着对于样本来说，任何在平均值2.69英寸（5.5英寸）以内的蒲公英都是“正常的”。

为什么要平方偏差？

偏差是平方的，以防止负值（低于平均值的偏差）抵消正值。这是因为负数的平方变成了正值。如果你有一个简单的数据集，与+5、+2、-1和-6的平均值有偏差，如果这些值不是平方的（即5+2-1-6=0），那么这些偏差的总和将变成零。

实际应用程序

方差表示为数学离散。由于它是相对于数据集原始测量值的任意数字，因此很难在现实世界中可视化和应用。求方差通常只是求标准差之前的最后一步。方差值有时用于金融和统计公式中。

以数据集的原始单位表示的标准差更直观，更接近原始数据集的值。它最常用于分析人口统计学或人口样本，以了解人口中什么是正常的。

发现异常值

在正态分布中，大约68%的总体（或数值）在1个标准差（1）之内σ) 约94%落在2%以内σ. 与平均值相差1.7的值σ 一个或多个通常被认为是异常值。

在实践中，像六西格玛这样的质量体系试图降低错误率，使错误成为异常值。术语“六西格玛过程”来自这样一个概念，即如果一个人在过程平均值和最近的规范极限之间有六个标准偏差，那么实际上没有任何项目不符合规范要求

样品标准差

在实际应用中，使用的数据集通常表示总体样本，而不是整个总体。如果要从部分样本中得出总体范围的结论，则使用稍微修改的公式。

如果您只有一个样本，但您希望对抽取样本的总体标准偏差进行说明，则使用“样本标准偏差”

$s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}.$

样本标准偏差公式与标准偏差公式的唯一区别是分母中的“-1”。

以蒲公英为例，如果我们只采集了6个蒲公英，但想用这个样本来说明整个领域几百个蒲公英的标准差，就需要这个公式。

平方和现在将被5除而不是6（n-1），这将给出8.7（而不是7.25）的方差和2.95英寸的样本标准偏差，而不是原始标准偏差的2.69英寸。此更改用于查找样本中的误差范围（本例中为9%）。

参考文献

计算标准差的简单示例-AppSpot
标准差公式-数学很有趣
绝对偏差和方差-拉尔德统计量
标准差和方差-数学很有趣
维基百科：标准差
维基百科：方差特性
作为离散度度量的范围、方差和标准差-可汗学院
模式、中介和手段：一个统一的视角

发表于 2021-07-06 05:11
阅读 ( 1031 )
分类：科学

你可能感兴趣的文章

用excel计算历史波动率

...天数（365）。通过取结果的平方根得出年化标准差： Variance = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)] 对于年化方差，假设一年365天，每天都有相同的日方差，σ²每天，我们获得： Annualized Variance = 365. σ²daily Annualized Variance = 365. [Σ ...

发布于 2021-06-11 13:10
阅读 ( 385 )

...z\text{-score\ of\ the\ confidence\ interval}\\&amp\quad\times\\text{standard\deviation\of\the\portfolio）]}\\&amp\quad\times\\text{portfolio\value}\\\end{aligned}VaR=[投资组合的预期加权收益− (置信区间的z分× 投资组合的标准差× 投资组合总市值通常...

发布于 2021-06-14 11:58
阅读 ( 425 )