金融资产的价值每天都在变化。投资者需要一个指标来量化这些往往难以预测的变化。供给和需求是影响资产价格变化的两个主要因素。作为回报，价格变动反映了波动的幅度，这是利润和损失成比例的原因。从投资者的角度来看，围绕这些影响和波动的不确定性被称为风险。

期权的价格取决于其潜在的移动能力，或者换言之，它的波动能力。它越有可能搬家，其溢价就越贵，越接近到期。因此，计算标的资产的波动性有助于投资者根据该资产为衍生品定价。

关键要点

• 期权合约和其他衍生品的定价直接涉及到能够计算资产的波动性，或价格波动的速度。
• 波动率是由按年计算的价格变动方差得出的。
• 这种计算可能复杂且耗时，但使用Excel计算资产的历史波动率可以快速而准确地完成。

衡量资产的变动

衡量资产变动的一种方法是量化资产的每日收益率（每日变动百分比）。这就引出了历史波动性的定义和概念。历史波动率基于历史价格，代表资产回报的变化程度。这个数字没有单位，用百分比表示。

计算历史波动率

如果我们称P（t）为时间t时金融资产（外汇资产、股票、外汇对等）的价格，P（t-1）为时间t-1时金融资产的价格，我们通过以下公式定义时间t时资产的日收益率r（t）：

r (t) = ln (P (t) / P (t-1))

其中Ln（x）=自然对数函数。

时间t的总收益R为：

R = r1 + r2 + r3 + 2 + ... +rt-1+ rt,

相当于：

R = Ln (P1 / P0) + ... Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1) 

我们有以下等式：

Ln (a) + Ln (b) = Ln (a*b)

因此，这就给出了：

R = Ln [(P1 / P0* (P2 / P1)* ... (Pt / Pt-1] R = Ln [(P1. P2 ... Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2 ... Pt-2. Pt-1)]

经过简化，我们有：

R = Ln (Pt / P0).

收益率通常计算为相对价格变动的差额。这意味着，如果一项资产在时间t时的价格为P（t），在时间t+h>t时的价格为P（t+h），则收益率（r）为：

r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] – 1

当回报很小时，比如只有百分之几，我们有：

r ≈ Ln (1 + r)

我们可以用当前价格的对数代替r，因为：

r ≈ Ln (1 + r) r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1)) r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

例如，从一系列收盘价中，取两个连续价格之比的对数就足以计算日收益率r（t）。

因此，我们也可以通过只使用初始价格和最终价格来计算总收益R。

算出年波幅

为了充分了解一年期间的不同波动性，我们将该波动性乘以一个因子，该因子解释了一年内资产的可变性。

为此，我们使用方差。方差是一天的平均日收益率的方差的平方。

为了计算365天平均日收益率的偏差平方数，我们将方差乘以天数（365）。通过取结果的平方根得出年化标准差：

Variance = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]

对于年化方差，假设一年365天，每天都有相同的日方差，σ²每天，我们获得：

Annualized Variance = 365. σ²daily Annualized Variance = 365. [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]

最后，由于波动率定义为方差的平方根：

Volatility = √ (variance annualized) Volatility = √ (365. Σ²daily) Volatility = √ (365 [Σ (r (t)) ² / (n - 1)].)

模拟

数据

我们通过Excel函数=rand来模拟每天在94和104之间变化的股票价格。

计算每日收益

• 在E列中，我们输入“Ln（P（t）/P（t-1））。”

计算每日收益的平方

• 在G列中，我们输入“（Ln（P（t）/P（t-1））^2。”

计算日方差

为了计算方差，我们取得到的平方和除以（天数-1）。所以：

• 在单元格F25中，我们有“=sum（F6:F19）”
• 在单元格F26中，我们计算“=F25/18”，因为我们有19-1个数据点用于此计算。

计算日标准差

为了每日计算标准差，我们计算每日方差的平方根。所以：

• 在单元F28中，我们计算“=平方根（F26）”
• 在单元格G29中，单元格F28显示为百分比。

计算年化方差

为了从日方差计算年化方差，我们假设每天都有相同的方差，我们将日方差乘以365，包括周末。所以：

• 在F30单元中，我们有“=F26*365”

计算年化标准差

为了计算年化标准差，我们只需要计算年化方差的平方根。所以：

• 在F32单元格中，我们有“=根（F30）”
• 在单元格G33中，单元格F32显示为百分比。

年化方差的平方根给出了历史波动率。

（相关阅读请参见：“波动性的真正含义”。）