卡方分布的一个用途是对多项式实验进行假设检验。为了了解这个假设检验是如何工作的，我们将研究以下两个例子。两个示例都通过相同的步骤：

1. 形成零假设和替代假设
2. 计算检验统计量
3. 找到临界值
4. 决定是否拒绝或不拒绝我们的无效假设。

例1：一枚公平的硬币

在我们的第一个例子中，我们想看一枚硬币。一枚公平的硬币正面或反面出现的概率为1/2。我们掷硬币1000次，记录总共580个正面和420个反面的结果。我们想以95%的置信度来检验这个假设，即我们掷的硬币是公平的。更正式地说，无效假设H0是硬币是公平的。由于我们将观察到的抛硬币结果频率与理想化公平硬币的预期频率进行比较，因此应使用卡方检验。

计算卡方统计量

我们首先计算该场景的卡方统计。有两个项目，正面和反面。磁头的观测频率为f1=580，预期频率为e1=50%x1000=500。尾翼的观测频率为f2=420，预期频率为e1=500。

我们现在使用卡方统计的公式，看到χ2=（f1-e1）2/e1+（f2-e2）2/e2=802/500+（-80）2/500=25.6。

找到临界值

接下来，我们需要找到适当的卡方分布的临界值。由于硬币有两种结果，需要考虑两类。自由度的数量比类别的数量少一个：2-1=1。我们使用卡方分布来计算这个自由度数，可以看到χ20.95=3.841。

拒绝还是不拒绝？

最后，我们将计算出的卡方统计量与表中的临界值进行比较。由于25.6>3.841，我们拒绝了这是一枚公平硬币的无效假设。

例2：公平的死亡

一个公平的骰子滚一、二、三、四、五或六个骰子的概率为1/6。我们将一个模具滚动600次，注意我们滚动一个106次，一个90次，一个98次，一个102次，一个100次和一个104次。我们想以95%的置信度来检验这个假设，即我们有一个公平的死亡。

计算卡方统计量

共有六个事件，每个事件的预期频率为1/6 x 600=100。观测频率为f1=106，f2=90，f3=98，f4=102，f5=100，f6=104，

我们现在使用卡方统计的公式，看到χ2=（f1-e1）2/e1+（f2-e2）2/e2+（f3-e3）2/e3+（f4-e4）2/e4+（f5-e5）2/e5+（f6-e6）2/e6=1.6。

找到临界值

接下来，我们需要找到适当的卡方分布的临界值。由于模具有六类结果，自由度比这少一个：6-1=5。我们使用五个自由度的卡方分布，可以看到χ20.95=11.071。

拒绝还是不拒绝？

最后，我们将计算出的卡方统计量与表中的临界值进行比较。由于计算的卡方统计量为1.6，小于我们的临界值11.071，我们无法拒绝无效假设。