方法1 方法1的2：使用质因数分解法

1. 1将你的数字除以完全平方因子。这种方法使用一个数字的因子来寻找一个数字的平方根（根据数字，这可能是一个精确的数字答案或一个接近的估计）。一个数字的因数是任何一组其他数字相乘而成的。例如，你可以说8的因子是2和4，因为2×4=8。另一方面，完全平方是其他整数的乘积。例如，25、36和49是完全平方数，因为它们分别是52、62和72。正如你可能已经猜到的那样，完全平方因子是也是完全平方的因子。要开始通过质因数法寻找平方根，首先，试着把你的数字还原成它的完全平方因子。让我们用一个例子。我们想用手找到400的平方根。首先，我们把这个数字分成完全平方因子。由于400是100的倍数，我们知道它可以被25平分--一个完全平方。快速的心算让我们知道，25进入400的次数是16。巧合的是，16也是一个完全平方。因此，400的完全平方因子是25和16，因为25×16=400。我们可以这样写。Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)

2. 2取你完全平方因子的平方根。平方根的乘积性质表明，对于任何给定的数字a和b，Sqrt（a×b）=Sqrt（a）×Sqrt（b）。由于这个属性，我们现在可以把完全平方因子的平方根拿出来，然后把它们相乘，得到我们的答案。在我们的例子中，我们要取25和16的平方根。见下文：Sqrt(25 × 16)Sqrt(25) × Sqrt(16)5 × 4 = 20

3. 3 如果你的数字没有完美的因数，将你的答案缩减到最简单的条款。在现实生活中，你需要寻找平方根的数字往往不是像400这样具有明显完美因数的圆形数字。在这些情况下，可能无法找到准确的答案，因为它是一个整数。相反，通过找到任何你能找到的完全平方因子，你可以用更小、更简单、更容易管理的平方根来找到答案。要做到这一点，将你的数字减少到完全平方因子和非完全平方因子的组合，然后进行简化。让我们以147的平方根为例。147不是两个完全平方的乘积，所以我们不能像上面那样得到一个精确的整数值。然而，它是一个完全平方和另一个数字的乘积--49和3。我们可以利用这一信息，用最简单的术语写出我们的答案如下：Sqrt(147)=Sqrt(49×3)=Sqrt(49)×Sqrt(3)=7×Sqrt(3)

4. 4估计一下，如果有必要的话。有了最简单的平方根，通常很容易通过猜测任何剩余的平方根的值和乘法来得到一个数字答案的大致估计。指导你估算的一个方法是在你的平方根中找到数字两边的完全正方形。你会知道你的平方根中的数字的小数点值是在这两个数字之间的某个地方，所以你就可以在它们之间进行猜测。让我们回到我们的例子。由于22=4，12=1，我们知道Sqrt(3)在1和2之间--可能更接近于2而不是1。我们将估计1.7。7 × 1.7 = 11.9 如果我们用计算器检查我们的工作，我们可以看到我们相当接近实际的答案12.13.这也适用于更大的数字。例如，Sqrt(35)可以被估计为5到6之间（可能非常接近6）。52=25，62=36。35在25和36之间，所以它的平方根必须在5和6之间。由于35离36只差一个，我们可以肯定地说，它的平方根只比6低。用计算器检查后，我们的答案是5.92左右--我们是对的。

5. 5作为第一步，将你的数字还原为最低公因数。如果你能很容易地确定一个数字的质因数（也是质数的因数），那么寻找完全平方因数就没有必要了。把你的数字写成它的最低公因数。然后，在你的因子中寻找匹配的一对质数。当你找到两个匹配的质因数时，将这两个数字从平方根中删除，并将其中一个数字放在平方根之外。我们知道45=9×5，我们知道9=3×3。因此，我们可以用它的因子来写我们的平方根，就像这样。Sqrt(3×3×5)。只要把3去掉，把一个3放在平方根外面，就可以得到最简单的平方根。(3)Sqrt(5)。最后一个例子，让我们试着找出88的平方根：Sqrt(88)=Sqrt(2×44)=Sqrt(2×4×11)=Sqrt(2×2×2×11)。我们的平方根里有几个2。由于2是一个质数，我们可以去掉一对，把一个放在平方根外面。= 我们的平方根最简单的说法是(2) Sqrt(2 × 11)或(2) Sqrt(2) Sqrt(11)。从这里，我们可以估计Sqrt(2)和Sqrt(11)，如果我们愿意，可以找到一个近似的答案。

方法2方法2：手动寻找平方根

使用长除法算法

1. 1把你的数字分成几对。这种方法使用类似于长除法的过程，逐个数字地寻找精确的平方根。虽然这不是必须的，但你可能会发现，如果你从视觉上将你的工作区和你的数字组织成可操作的块状，那么执行这个过程就最容易。首先，画一条垂直线将你的工作区分成两部分，然后在右边部分的顶部附近画一条较短的水平线，将右边部分分成一个小的上部分和一个大的下部分。接下来，从小数点开始，将你的数字分成几对。例如，按照这个规则，79,520,789,182.47897变成 "7 95 20 78 91 82.47 89 70".把你的数字写在左边空间的顶部。作为一个例子，让我们试着计算780.14的平方根。像上面那样画两条线来划分你的工作区，然后在左边的空间写上 "7 80.14 "写在左边空间的顶部。最左边的一大块是一个单独的数字，而不是一对数字，这是可以的。你将在右上方的空间里写下你的答案（780.14的平方根）。

2. 2 找到最大的整数n，其平方小于或等于最左边的数字（或一对）。从你的数字的最左边的 "大块 "开始，不管它是一对还是一个数字。找出小于或等于这一大块的最大完全平方，然后取这个完全平方的平方根。把n写在右上角，把n的平方写在右下角的象限内。在我们的例子中，最左边的 "大块 "是数字7。由于我们知道22=4≤7< 32=9，我们可以说n=2，因为它是平方小于或等于7的最大整数。把2写在右上角的象限内。这是我们答案的第一个数字。在右下角的象限写上4（2的平方）。这个数字在下一步会很重要。

3. 3从最左边的一对数字中减去你刚才计算的数字。与长除法一样，下一步是将我们刚刚找到的方块从我们刚刚分析的那块中减去。把这个数字写在第一块的下面，然后做减法，把答案写在下面。在我们的例子中，我们把4写在7下面，然后做减法。这样，我们的答案是3。

4. 4.放下下一个对子。将你要解决的数字的平方根的下一个 "块 "移到你刚找到的减去的数值旁边。接下来将右上角的数字乘以2，写在右下角的象限里。在你刚刚写下的数字旁边，留出空间，写上'"_×_="'，作为下一步要做的乘法问题。在我们的例子中，数字的下一对是 "80"。在左边象限的3旁边写上 "80"。接下来，将右上角的数字乘以2。这个数字是2，所以2×2=4。在右下角的象限里写上"'4'"，后面是_×_=。

5. 5填上右象限的空白处。你必须在右象限的每个空白处填上同一个整数。这个整数必须是允许右象限的乘法问题的结果低于或等于左边的当前数字的最大整数。在我们的例子中，在空白处填上8，就可以得到4（8）×8=48×8=384。这比380要大。因此，8太大，但7也可能可行。在空白处写上7并求解。4(7) × 7 = 329.7是正确的，因为329小于380。把7写在右上角的象限内。这是780.14的平方根中的第二个数字。

6. 6从左边的当前数字中减去你刚才计算的数字。继续进行长除法式的连锁减法。拿出右象限的乘法问题的结果，从左边的当前数字中减去，把答案写在下面。在我们的例子中，我们要从380中减去329，得到51。

7. 7重复第4步。把你要找的数字的下一块平方根丢下去。当你的数字到达小数点时，在右上角象限的答案中写上一个小数点。然后，将右上角的数字乘以2，像上面一样写在空白的乘法问题（"_×_"）旁边。在我们的例子中，由于我们现在遇到的是780.14的小数点，所以在我们当前答案的右上方写上一个小数点。接下来，将下一个对子（14）放在左象限。右上角数字的2倍（27）是54，所以在右下角的象限写上 "54 _×_="。

8. 8重复步骤5和6。找到一个最大的数字来填补右边的空白，使答案小于或等于左边的当前数字。然后，解决问题。在我们的例子中，549×9=4941，低于或等于左边的数字（5114）。549×10=5490，这太高了，所以9是我们的答案。把9写成右上角的下一个数字，用左边的数字减去乘法的结果：5114减去4941是173。

9. 9、继续计算数字。在左边丢掉一对零，然后重复第4、5、6步。为了增加准确性，继续重复这个过程，找出答案中的百位、千位等。如此循环下去，直到你找到所需的小数位的答案。

了解过程

1. 1把你要计算的数字的平方根看作是一个正方形的面积S。因为一个正方形的面积是L2，其中L是它的一条边的长度，因此，通过试图找到你的数字的平方根，你试图计算该正方形的边的长度L。

2. 2为你答案中的每个数字指定字母变量。将变量A指定为L（我们要计算的平方根）的第一个数字。B将是它的第二个数字，C是它的第三个数字，以此类推。

3. 3为你的起始数的每个 "块 "指定字母变量。将变量Sato分配给S（你的起始值）中的第一对数字，Sb分配给第二对数字，等等。

4. 4了解这种方法与长除法的联系。这种求平方根的方法本质上是一个长除法问题，它将你的起始数除以它的平方根，从而给出它的平方根作为答案。就像在长除法问题中，你每次只对下一个数字感兴趣，在这里，你每次对下两个数字感兴趣（这与平方根的下一个数字相对应）。

5. 5找出其平方小于或等于Sa的最大数字。我们答案中的第一个数字A就是平方不超过Sa的最大整数（指A²≤Sa < (A+1)²）。在我们的例子中，Sa=7，2²≤7<3²，所以A=2.注意，例如，如果你想通过长除法将88962除以7，第一步是类似的：你会看到88962的第一个数字（8），你会想要一个最大的数字，当乘以7时，低于或等于8。基本上，你要找到d，使7×d≤8 < 7×(d+1)。在这种情况下，d将等于1。

6. 6.想象一下你开始解决的正方形的面积。你的答案，即你的起始数的平方根，是L，它描述了面积为S（你的起始数）的正方形的长度。另一种说法是，对于两位数的答案，10A+B=L，而对于三位数的答案，100A+10B+C=L，以此类推。在我们的例子中，（10A+B）²=L2=S=100A²+2×10A×B+B²。记住，10A+B代表我们的答案L，B在单位位置，A在十位位置。例如，A=1，B=2，10A+B就是简单的数字12。(10A+B)²是整个正方形的面积，而100A²是里面最大的正方形的面积，B²是最小的正方形的面积，10A×B是剩下的两个矩形的面积。通过这个漫长而曲折的过程，我们通过把里面的正方形和长方形的面积相加，找到了整个正方形的面积。

7. 7从Sa中减去A²。Sb几乎是正方形的总面积，你刚刚从这个正方形中减去了较大的内部面积。余下的部分可以看作是我们在步骤4中得到的数字N1（在我们的例子中N1=380）。N1等于2×10A×B+B²（两个矩形的面积加上小正方形的面积）。

8. 8寻找N1=2×10A×B+B²，也写成N1=（2×10A+B）×B。在我们的例子中，你已经知道N1（380）和A（2），所以你需要找到B。B很可能不是一个整数，所以你实际上必须找到一个最大的整数B，使（2×10A+B）×B≤N1。所以，你有。N1 < (2×10A + (B+1))× (B+1).)

9. 9求解。要解决这个方程，将A乘以2，移到十位的位置（相当于乘以10），将B放在单位的位置，然后将得到的数字乘以B，换句话说，解决（2×10+B）×B。这正是你在步骤4中在右下象限写 "N_×_="（N=2×A）时所做的。在第5步中，你要找到适合在下划线上的最大整数B，使（2×10A+B）×B≤N1。

10. 10从总面积中减去面积（2×10A+B）×B。这就得到了尚未计算的面积S-(10A+B)²（将用于以类似方式计算下一个数字）。

11. 11要计算下一个数字C，重复这个过程。从S中去掉下一对（Sc），得到左边的N2，寻找最大的C，这样你就有（2×10×(10A+B)+C）×C≤N2（相当于写出2倍的两位数 "A B"，后面是"_×_=" 。如前所述，寻找适合填入空白处的最大数字，使其答案小于或等于N2。

• 这种方法适用于任何基数，而不仅仅是基数10（十进制）。
• 在这个例子中，1.73可以被认为是一个 "余数"：780.14=27.9²+1.73。
• 在一个数字中移动小数点的增量为两位（系数为100），在其平方根中移动小数点的增量为一位（系数为10）。
• 你可以自由地提出你更喜欢的微积分。有些人把结果写在起始数上面。
• 另一种使用继续分数的方法可以遵循这个公式。√z=√（x^2+y）=x+y/（2x+y/（2x+y/（2x+...）））。例如，要计算780.14的平方根，其平方最接近780.14的整数是28，所以z=780.14，x=28，y=-3.86。插入并进行估算，只需x+y/(2x)就已经得到(最低项)78207/2800或大约27.931(1)；下一个项，4374188/156607或大约27.930986(5)。每一项都在前一项的基础上增加了近3位数的精度。