方法1方法1/2：使用“弱”或“规则”数学归纳法

1. 1评估问题。假设你被要求通过归纳法计算第一个“n”奇数的和，写为[1+3+5+…+（2n-1）]。（这里的最后一个术语来自这样一个事实：如果你将任何数字加倍，然后从该值中减去1，那么得到的数字将始终是奇数。）一开始，你可能会注意到连续奇数之和似乎遵循一种模式（例如，1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16；1+3+5+7+9=25）。总和似乎是你要加的奇数的平方，对吗？现在我们已经对这里的模式有了概念，我们可以开始我们的证明了。

2. 2陈述将使用归纳法证明的属性。在我们的例子中，我们注意到了一个与第一个“n”奇数之和有关的模式。为了完成分配给我们的任务（即，计算第一个“n”奇数的总和），我们实际上可以花时间写出所有奇数，从1开始一直到“n”，并将它们相加。但有一个更简单的方法。根据我们观察到的前几个求和，我们可以提供这个性质，我们将尝试通过归纳法证明：1+3+…+（2n-1）=n^2我们将这个属性称为P（n），因为“n”是我们上面使用的变量。等式的左号表示第一个“n”奇数的和，从1开始。

3. 3理解数学归纳背后的概念。从多米诺骨牌的角度来思考归纳法是很有帮助的，这让我们想起了上文引言中讨论的“含义链”。把上面属性P（n）中的每个“n”值想象成一个单独的多米诺骨牌，排成一行。如果我们能证明P（1）——链中的第一个值是真的，这意味着我们可以推翻第一个多米诺骨牌。此外，如果我们假设任何一个多米诺骨牌都可以被打翻（即，P（n）对任意的“n”值都成立），并且在这个假设下，下面的多米诺骨牌也可以被打翻（即，P（n+1）也是成立的），这意味着我们可以打翻所有具有我们声明属性的多米诺骨牌。这意味着属性在所有情况下都是真实的，我们通过归纳实现了我们的目标。

4. 4.确认财产的基本情况成立。特定属性的“基本情况”是一些小值，用于表明该属性的第一条语句成立。在本例中，我们将使用“1”，因为这是第一个奇数，很容易使用。如果这个属性在基本情况下成立，我们就会证明我们可以推翻第一个多米诺骨牌，然后继续下一步。P（1）：1=1^2P（1）：1=1（坚持住了，我们很好。首先多米诺骨牌倒了。）

5. 5.陈述归纳假设。归纳的下一步是做一个假设。在我们的示例中，我们将假设对于任意的“n”值——比如说“k”——该语句为真。也就是说，我们相信，无论“n”的值是多少，我们的财产都将保持不变。如果这不是真的，我们的财产（即，我们对计算前“n”个奇数之和的原始问题的解决方案）将没有多大用处。虽然我们还没有证明任何东西，但这个假设很重要，它的形式如下：P（k）：1+3+…+（2k-1）=k^2请记住，在证明中，我们假设这是真的（即，我们可以击倒链中的任何单个多米诺骨牌）。

6. 6证明归纳假设对链中的下一个值成立。换句话说，我们假设P（k）为真，并利用该假设，试图证明P（k+1）也为真。如果我们能做到这一点，我们已经用归纳法证明了我们的理论是有效的，因为如果击倒一个多米诺骨牌（假设P（k）为真）击倒下一个多米诺骨牌（使用该假设，证明P（k+1）也是真的），所有的多米诺骨牌都会掉落，我们的属性也会被证明是有效的。让我们试试：P（k）：1+3+…+（2k-1）=k^2为真。P（k+1）：1+3+…+（2k-1）+（2（k+1）-1）=（k+1）^2等式左侧上方的斜体部分表示序列中下一个奇数项k+1的相加。如果我们能使左手边和右手边相等，我们就成功了。根据我们的假设，我们知道上面的非斜体部分等于k^2，所以让我们进行替换。P（k+1）：k^2+（2（k+1）-1）=（k+1）^2P（k+1）：k^2+2k+1=（k+1）^2P（k+1）：（k+1）^2=（k+1）^2

7. 7.得出结论：数学归纳法有效地证明了该性质。通过使用一点代数，我们证明了我们的性质不仅适用于“n”的任意值，也适用于该值之后的值。我们已经证明了P（1）是真的，假设P（k）是真的，并且基于这个假设证明了P（k+1）也是真的。用我们继续进行的多米诺骨牌类比，我们成功地击倒了第一个多米诺骨牌，表明我们的财产具有一定的价值。然后，假设链中的任意多米诺骨牌都可能被打翻，我们证明了这样做必然会打倒下一个多米诺骨牌，无限期地打倒链的其余部分。因此，我们证明了我们的性质在一般情况下成立，并通过数学归纳成功地得出了我们的证明。

方法2方法2/2：使用“强”或“完全”数学归纳法

1. 1了解两种归纳法之间的差异。上面的例子是所谓的“弱”归纳法，之所以这样命名，并不是因为两种归纳法之间的质量差异，而是为了说明每种类型的证据的归纳假设中假设的内容之间的差异。这两种证明方法实际上是等价的，只是有时需要在归纳假设中假设更多，以证明手头的命题。回到我们的多米诺骨牌类比，有时假设P（k）为真的权重不足以击倒由P（k+1）表示的多米诺骨牌。有时，你需要能够击倒所有的多米诺骨牌，以证明你的主张成立。

2. 2.陈述要用强归纳法证明的命题。为了说明这一点，让我们考虑一个不同的例子。假设你被要求证明所有大于1的整数都可以写成素数的乘积。和前面一样，我们将这个命题称为P（n），其中“n”是可以表示为素数乘积的数。因为我们讨论的是所有大于1的整数，“n”必须大于或等于2。请记住，素数是大于1的正整数，它只能被自身和1除，没有余数。

3. 3.证实基本情况属实。和以前一样，任何归纳证明的第一步都是证明基本情况成立。在这种情况下，我们将使用2。由于2是一个素数（只能被它自身和1整除），我们可以得出基本情况成立的结论。

4. 4.陈述（强）归纳假设。这里是“弱”和“强”归纳法之间的区别最明显的地方，因为这一步是两种形式的归纳证明之间的唯一区别。“弱”归纳的归纳假设假设，对于“n”的任意值，我们再次使用“k”，命题成立。然后，我们将使用该假设来证明链中的下一个值是真的，从而得出结论，我们的主张总体上是有效的。然而，对于这个命题，假设P（k）为真，并不能告诉我们关于P（k+1）的任何信息。这种“弱”假设在这里是不够的，所以我们需要假设更多。“强”归纳的归纳假设，不是简单地假设P（k）为真，而是假设，对于基本情况和“k”之间的所有“n”值，命题为真。我们将使用这个相对更强的假设（即，我们假设更多）来证明这个命题是正确的。这种“强”假设是区分这两种证明形式的原因。在这种情况下，我们假设，对于k的某个值≥ 2，即每个整数“n”等于2≤ N≤ k可以写成素数的乘积。

5. 5验证“强”归纳假设对链中的下一个值成立。现在我们将使用这个强大的假设来证明P（k+1）也成立，从而证明我们命题的整体有效性。“k+1”有两个相关结果如果“k+1”是质数，我们的命题成立，我们就完蛋了。如果“k+1”不是素数，它将有一个最小的素数因子，我们将其表示为“p”。因此，“k+1”可以表示为“p”和其他一些数字“x”的乘积。由于“x”必然小于“k”，我们的归纳假设告诉我们，“x”可以写成素数的乘积，这最终意味着，无论“k+1”是否为素数，它都可以写成素数的乘积。

6. 6.得出结论：这一命题得到了强有力的数学归纳法的有效证明。使用我们的“强”归纳假设，我们能够证明我们的命题，而“弱”归纳不足以证明我们的命题。首先尝试“弱”归纳法，因为你假设的理论较少，这一事实使得证明背后的逻辑更强，这与这两种类型的证明所使用的命名约定相反。然而，从数学上讲，这两种归纳法是等价的。

• 在“弱”归纳证明中，你最终要寻找P（k）和P（k+1）之间的联系来证明你的命题是真的。在“强”归纳证明中，您正在寻找P（基本情况和“k”之间的任何“n”值）和P（k+1）之间的联系。
• 如果“强”归纳法成立，那么常规归纳法也成立，反之亦然。请记住，这两种证明是等价的，一种证明并不一定比另一种更好。当“弱”归纳的归纳假设不能清楚地证明手头的命题时，“强”归纳有时会为写出证据提供一些帮助。
• 归纳法之所以有效，是因为有序原则。也就是说，每个正整数的非空集合都有一个最小的元素。在我们的例子中，最小的元素是1。
• 归纳法通常用来证明一个性质对所有自然数都成立。这意味着您将使用正整数（非小数或整数）。