微分方程是将函数与其一个或多个导数联系起来的方程。在大多数应用中，函数表示物理量，导数表示其变化率，方程定义了它们之间的关系。在本文中，我们展示了求解某些类型的常微分方程所需的技术，这些方程的解可以用初等函数（多项式、指数、对数和三角函数及其逆）表示。这些方程中的许多在现实生活中都会遇到，但大多数其他方程无法使用这些技术求解，而是需要用特殊函数、幂级数或数值计算的方式来编写答案。本文假设您对微分和...
第1部分第1部分（共2部分）：一阶方程
- 1线性一阶方程。在本节中，我们讨论了求解线性一阶微分方程的方法，包括在一般情况下以及在某些项设置为0的特殊情况下。我们假设y=y（x），{\displaystyle y=y（x），}p（x），{\displaystyle p（x），}和q（x）{\displaystyle q（x）}是x.{\displaystyle x.}dydx+p（x）y=q（x）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p（x）y=q（x}p（x）=0的函数。{\displaystyle p（x）=0。}根据微积分基本定理，函数导数的积分就是函数本身。然后我们可以简单地积分得到我们的答案。记住，计算不定积分会引入任意常数。y（x）=∫q（x）dx{\displaystyle y（x）=\int q（x）\mathrm{d}x}q（x）=0。{\displaystyle q（x）=0。}我们使用分离变量的技术。变量分离直观地将每个变量置于方程的不同侧面。例如，我们将所有y{\displaystyle y}项移到一边，将x{\displaystyle x}项移到另一边。我们可以将导数中的dx{\displaystyle\mathrm{d}x}和dy{\displaystyle\mathrm{d}y}视为可以移动的量，但请记住，这只是利用链式规则进行操作的简写。这些被称为微分的对象的确切性质超出了本文的范围。首先，我们得到方程两侧的每个变量。1岁=−p（x）dx{\displaystyle{\frac{1}{y}}\mathrm{d}y=-p（x）\mathrm{d}x}积分两侧。积分在两侧引入了一个任意常数，但我们可以在右侧合并它们。自然对数y=∫−p（x）dx{\displaystyle\ln y=\int-p（x）\mathrm{d}x}y（x）=e−∫p（x）dx{\displaystyley y（x）=e ^{-\int p（x）\mathrm{d}x}}}示例1.1。在最后一步中，我们利用指数定律ea+b=eaeb{\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}，并将eC{\displaystyle e^{C}}替换为C{\displaystyle C}，因为它同样是一个任意常数。dydx公司−2赖氨酸x={\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}2y\sin x=0}12ydy=sinxdx12lny=−余弦x+Clny=−2cosx+Cy（x）=Ce−2cosx{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{1}{2y}}\mathrm{d}y&=\sin x\mathrm{d}x\{\frac{1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\ n y&=-2\cos x+C\\y（x）&=Ce ^{-2\cos x}\end{aligned}}}p（x）≠0，q（x）≠0.{\displaystyle p（x）\neq 0\q（x）\neq 0}为了解决一般情况，我们引入了积分因子μ（x），{\displaystyle\mu（x），}一个x{\displaystyle x}的函数，通过将左侧置于公共导数下，使方程更容易求解。将两侧乘以μ（x）。{\displaystyle\mu（x）}μdydx+μpy=μq{\displaystyle\mu{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+\mu py=\mu q}为了使左侧服从公共导数，我们必须具有以下条件。ddx（μy）=dμdxy+μdydx=μdydx+μpy{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x}（\mu y）={\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x}}y+\mu mu{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\mu-py}后一个方程意味着dμdx=μp，{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x}=\mu p，}具有以下解。这是求解每个线性一阶方程的积分因子。我们现在可以继续推导一个公式，用μ{\displaystyle\mu}来求解这个方程，但简单地进行计算更有指导意义。μ（x）=e∫p（x）dx{\displaystyle\mu（x）=e ^{\int p（x）\mathrm{d}x}}示例1.2。这个例子还引入了在给定初始条件下寻找微分方程特定解的概念。tdydt+2y=t2，y（2）=3{\displaytyle t{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=t^{2}，quad y（2）=3}dydt+2ty=t{\displaytyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+{\frac{2}{t}y=t}μ（t）=e∫p（t）dt=e2lnt=t2{\displaystyle\mu（t）=e{\int p（t）\mathrm{d}t}=e{2\ln t}=t{2}}ddt（t2y）=t3t2y=14t4+Cy（t）=14t2+Ct2{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{\mathrm{d}}}}{\mathrm{d}t}（t{2}y）&=t ^{3}\\t ^{2}y&={\frac{1}{4}}t^{4}+C\\y（t）&={frac{1}{4}}t{2}+{frac{C}{t{2}}}\end{aligned}}}3=y（2）=1+C4，C=8{displaystyle 3=y（2）=1+{frac{C}{4}}，四元C=8}y（t）=14t2+8t2{displaystyle y（t）={frac{1}。{4}}t ^{2}+{\frac{8}{t ^{2}}}
- 2非线性一阶方程。在本节中，我们讨论求解某些非线性一阶微分方程的方法。没有封闭形式的通解，但某些方程可以使用以下技术求解。dydx=f（x，y）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}}=f（x，y）}dydx=h（x）g（y）。{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=h（x）g（y）。}如果函数f（x，y）=h（x）g（y）{f（x，y）=h（x）g（y）}可以分为每个变量的函数，则称方程是可分的。然后，我们继续使用与之前相同的方法。∫dyh（y）=∫g（x）dx{\displaystyle\int{\frac{\mathrm{d}y}{h（y}}}}=\int g（x）\mathrm{d}x}示例1.3。dydx=x3y（1+x4）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}}={\frac{x^{3}}}{y（1+x^{4}}}}}}∫ydy公司=∫x31+x4dx12y2=14ln（1+x4）+Cy（x）=12ln（1+x4）+C{\displaystyle{\begin{aligned}\int y\mathrm{d}y&=\int{\frac{x ^{3}}{1+x ^{4}}}\mathrm{d}x\{\frac{1}{2}}}y ^{2}&={\frac{1}{4}}\ln（1+x ^{4}）+C\\y（x）&={\frac{1}{2}}\ln（1+x ^{4}）+C\end{aligned}}}dydx=g（x，y）h（x，y）。{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}}={\frac{g（x，y）}{h（x，y）}}设g（x，y）{\displaystyle g（x，y）}和h（x，y）{\displaystyle h（x，y）}是x{\displaystyle x}和y的函数。{\displaystyle y。}则齐次微分方程是一个方程，其中g{\displaystyle g}和h{\displaystyle h}是相同阶的齐次函数。也就是说，该函数满足性质g（αx，αy）=αkg（x，y），{\displaystyle g（\alpha x，alpha y）=\alpha ^{k}g（x，y），}其中k{\displaystyle k}称为同质度。每个齐次微分方程都可以通过变量的充分变化转换为可分离方程，变量可以是v=y/x{\displaystyle v=y/x}或v=x/y。{\displaystyle v=x/y}示例1.4。上述关于同质性的讨论可能有些神秘。让我们通过一个例子来看看这是如何应用的。dydx=y3−x3y2x{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\frac{y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}}}我们首先观察到这是y中的非线性方程。{\displaystyle y}我们还看到这个方程不能分离。然而，它是一个齐次微分方程，因为顶部和底部都是3次齐次的。因此，我们可以改变变量v=y/x.{\displaystyle v=y/x.}dydx=yx−x2y2=v−1v2{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\frac{y}{x}}-{\frac{x^{2}}}{y^{2}}}=v-{\frac{1}{v^{2}}}}y=vx，dydx=DVDX+v{displaystyle y=vx，\quad{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}x+v}dvdxx=−1v2.{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}x=-{\frac{1}{v ^{2}}}}}这现在是v.{\displaystyle v.}v（x）中的一个可分离方程=−3磅x+C3{\displaystyle v（x）={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}}y（x）=x−3磅x+C3{\displaystyle y（x）=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}}}}dydx=p（x）y+q（x）yn。{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=p（x）y+q（x）y ^{n}这是伯努利微分方程，一个非线性一阶方程的特例，其解可以用初等函数表示。乘以（1）−n） y−n、 {\displaystyle（1-n）y ^{-n}.}(1−n） y−ndydx=p（x）（1）−n） y1−n+（1−n） q（x）{\displaystyle（1-n）y ^{-n}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p（x）（1-n）y ^{1-n}+（1-n）q（x}使用左侧的链式规则将方程转换为y1中的线性方程−n、 {\displaystyle y ^{1-n}，}，然后可以使用前面的技术求解。dy1型−ndx=p（x）（1）−n） y1−n+（1−n） q（x）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y ^{1-n}}}{\mathrm{d}x}}=p（x）（1-n）y ^{1-n}+（1-n）q（x}M（x，y）+n（x，y）dydx=0。{\displaystyle M（x，y）+N（x，y）{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=0这里，我们讨论精确方程。我们希望找到一个称为势函数的函数φ（x，y），{\displaystyle\varphi（x，y），}，使得dφdx=0。{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}}=0。}为了满足这个条件，我们有以下总导数。总导数允许额外的变量依赖性。为了计算φ{\displaystyle\varphi}相对于x的总导数，{\displaystyle x，}，我们考虑了y{\displaystyle y}也可能依赖于x.{\displaystyle x.}dφdx的可能性=∂φ∂x+∂φ∂ydydx{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}}={\frac{\partial\varphi}{\partial x}+{\frac{\partial\varphi}{\partial y}}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}}比较项，我们有M（x，y）=∂φ∂x{\displaystyle M（x，y）={\frac{\partial\varphi}{\partial x}}}}和N（x，y）=∂φ∂y、 {\displaystyle N（x，y）={\frac{\partial\varphi}{\partial y}}光滑函数的混合导数彼此相等是多变量微积分的标准结果。这有时被称为克莱罗定理。如果以下条件成立，则微分方程是精确的。∂M∂y=∂N∂x{\displaystyle{\frac{\partial M}{\partial y}}={\frac{\partial N}{\partial x}}}求解精确方程的方法类似于寻找pote
- 许多微分方程根本无法用上述方法求解，尤其是讨论部分提到的方法。当方程包含可变系数且不是Euler-Cauchy方程时，或当方程是非线性时，会发生这种情况，除非有一些非常特殊的例子。然而，上述方法足以求解科学中常见的许多重要微分方程。
- 与微分不同，微分可以计算任何给定表达式的导数，许多表达式的积分不能用初等函数求。因此，不要浪费时间尝试集成无法集成的表达式。检查积分表以进行验证。不能用初等函数表示的微分方程的解有时可以用积分形式表示，但在这种情况下，积分是否可以解析进行并不重要。
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发表于 2022-07-18 12:37
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- 分类：教育和通信
