如何求解有理方程(solve rational equations)
方法1方法1/2：交叉乘法
- 1如有必要，重新排列等式，在等号的每一侧得到一个分数。交叉乘法是求解有理方程的一种快速、简单的方法。不幸的是，这种方法只适用于在等号的每一侧恰好包含一个有理表达式或分数的有理方程。如果方程的交叉乘法形式不正确，则可能需要使用代数运算将其项移动到适当的位置。例如，方程（x+3）/4-x/（-2）=0可以通过向方程两侧添加x/（-2）轻松地重新排列为交叉乘法形式，留下（x+3）/4=x/（-2）。请记住，小数和整数可以通过分母1变成分数。例如，（x+3）/4-2.5=5可以重写为（x+3）/4=7.5/1，使其成为交叉乘法的有效候选。一些有理方程不容易简化为等号两边各有一个分数或有理方程的形式。在这种情况下，使用最小公分母方法。
- 2交叉乘法。交叉乘法只是指将一个分数的分子乘以另一个分数的分母，反之亦然。将等号左侧分数的分子乘以右侧分数的分母。用右侧分数的分子和左侧分数的分母重复上述步骤。交叉乘法根据基本代数原理工作。有理表达式和其他分数可以通过将其乘以分母而变成非分数。交叉乘法基本上是将等式的两侧乘以两个分数的分母的一种简便快捷方式。你不相信吗？试试看——简化后你会得到同样的结果。
- 3将两个产品设置为彼此相等。在交叉乘法之后，您将得到两个乘积。将这两个项设置为彼此相等，并进行简化，以获得方程的每一侧的最简单项。例如，如果原始有理表达式为（x+3）/4=x/（-2），则在交叉乘法后，新方程为-2（x+3）=4x。如果我们愿意，这也可以写成-2x-6=4x。
- 4求解变量。使用代数运算求解方程中的变量。请记住，如果x出现在等号的两侧，则需要在两侧加上或减去x项，以获得仅在等号一侧的x项。在我们的例子中，我们可以将方程的两边除以-2，得到x+3=-2x。从两边减去x得到3=-3x。最后，将两边除以-3得到-1=x，我们可以将其重写为x=-1。我们找到了x，求解有理方程。
方法2方法2/2：寻找最低公分母（lcd）
- 1Know when finding a lower Common Denominator is appropriate。最小公分母（LCD）可用于简化有理方程，使求解其变量成为可能。当你的有理方程不容易写成等号两边都有一个（而且只有一个）分数或有理表达式的形式时，找到一个LCD是一个好主意。对于求解三项或三项以上的有理方程，LCD是一个有用的工具。然而，对于求解只有两项的有理方程，交叉乘法可以更快。
- 2检查每个分数的分母。确定每个分母平均分成的最小数。这是你公式的LCD。有时，最小公分母（即，将每个现有分母作为一个因子的最小数）是显而易见的。例如，如果表达式是x/3+1/2=（3x+1）/6，那么不难看出，以3、2和6作为因子的最小数字实际上是6。然而，通常情况下，有理方程的LCD并不立即明显。在这些情况下，尝试检查较大分母的倍数，直到找到一个包含所有较小分母的因子。通常，LCD是两个分母的倍数。例如，在等式x/8+2/6=（x-3）/9中，LCD为8×9=72。如果一个或多个分数分母包含一个变量，则此过程涉及更多，但并非不可能。在这些情况下，LCD将是一个表达式（包含变量），所有分母都分成一个，而不是一个数字。例如，在等式5/（x-1）=1/x+2/（3x）中，LCD是3x（x-1），因为每个分母都均匀地除以它-除以（x-1）得到3x，除以3x得到（x-1），除以x得到3（x-1）。
- 3将有理方程中的每个分数乘以1。将每个项乘以1似乎没有意义。然而，有一个技巧。1可以定义为自身上的任何数字-例如，2/2和3/3也是写“1”的有效方式此方法利用了此替代定义。将有理方程中的每个分数乘以1，每次写1作为数字或项，与每个分母相乘，得到LCD本身。在我们的基本示例中，我们将x/3乘以2/2得到2x/6，将1/2乘以3/3得到3/6。3x+1/6已经有了6，LCD，作为它的分母，所以我们可以将它乘以1/1，或者让它单独存在。在我们的例子中，分数分母中有变量，这个过程稍微复杂一些。由于我们的LCD是3x（x-1），我们将每个有理表达式乘以它乘以的项，得到3x（x-1）。我们将5/（x-1）乘以（3x）/（3x）得到5（3x）/（3x）（x-1），将1/x乘以3（x-1）/3（x-1）得到3（x-1）/3x（x-1），将2/（3x）乘以（x-1）/（x-1）得到2（x-1）/3x（x-1）。
- 4简化并求解x。既然有理方程中的每个项都有相同的分母，你可以从方程中去掉分母并求解分子。简单地将方程的两边相乘，得到自己的分子。然后，使用代数运算在等号的一侧单独获得x（或任何其他你正在求解的变量）。在我们的基本示例中，将每个项乘以1的替代形式后，我们得到2x/6+3/6=（3x+1）/6。如果分母相同，则可以将两个分数相加，因此我们可以将该方程简化为（2x+3）/6=（3x+1）/6，而不改变其值。将两边乘以6以抵消分母，这就得到了2x+3=3x+1。从两侧减去1得到2x+2=3x，从两侧减去2x得到2=x，可以写成x=2。在我们的分母中有变量的示例中，将每个项乘以“1”后的方程为5（3x）/（3x）（x-1）=3（x-1）/3x（x-1）+2（x-1）/3x（x-1）。将每个项乘以LCD可以取消分母，得到5（3x）=3（x-1）+2（x-1）。这适用于15x=3x-3+2x-2，简化为15x=x-5。从两侧减去x得到14x=-5，最后简化为x=-5/14。
- 在求解了相关变量后，通过将变量值插入原始方程来检查答案。如果变量值正确，则可以将原始方程简化为简单有效的语句，例如1=1。
- 注意，您可以将任何多项式写成有理表达式；把它放在分母“1”上所以x+3和（x+3）/1都有相同的值，但后一个表达式被认为是有理表达式，因为它写为分数。
- 发表于 2022-07-18 13:52
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