正態分佈是以對稱方式繪製其所有值的概率分佈，大多數結果位於概率均值附近。

正態（鐘形曲線）分佈

資料集（比如100人的身高、一個班45個學生的分數等）往往在同一資料點或同一範圍內有許多值。這種資料點的分佈稱為正態分佈或鐘形曲線分佈。

例如，在一組100人中，10人身高可能低於5英尺，65人身高可能在5到5.5英尺之間，25人身高可能在5.5英尺以上。此範圍限制分佈可繪製如下：

類似地，在任何給定資料集的圖形中繪製的資料點可能類似於不同型別的分佈。最常見的三種分佈是左對齊、右對齊和混雜分佈：

註意每個圖中的紅色趨勢線。這大致表明瞭資料分佈的趨勢。第一個“左對齊分佈”表示大多數資料點落在較低的範圍內。在第二個“右對齊分佈”圖中，大多數資料點落在範圍的高階，而最後一個“混雜分佈”表示沒有任何明顯趨勢的混合資料集。

在很多情況下，資料點的分佈趨向於圍繞一個中心值，並且該圖顯示了一個完美的正態分佈，兩邊均衡，最大數量的資料點集中在中心。

這是一個完美的正態分佈資料集：

這裡的中心值是50（資料點的數量最多），分佈向0和100（資料點的數量最少）這兩個極值均勻地遞減。正態分佈圍繞中心值對稱，每邊各有一半的值。

很多現實生活中的例子都符合鐘形曲線分佈：

• 擲一枚硬幣多次（比如說100次或更多），你會得到一個平衡的正態分佈的頭尾。
• 擲一對公平的骰子多次（比如說100次或更多），結果將是一個以數字7為中心的平衡的正態分佈，並朝著2和12的極值均勻地逐漸變細。
• 一個相當大的群體中個體的身高和一個階級中的人所獲得的分數都遵循正態分佈模式。
• 在金融領域，金融市場的變化 日誌值 假設匯率、價格指數和股票價格 正態分佈。

風險與回報

任何投資都有兩個方面：風險和回報。投資者尋求盡可能低的風險和盡可能高的回報。正態分佈透過收益的均值和風險的標準差來量化這兩個方面。

平均值或期望值

股票價格的平均日變化率可能為1.5%，也就是說，平均上漲1.5%。這個平均值或預期值表示回報，可以透過計算一個足夠大的資料集，包含該股票的歷史每日價格變化的平均值。平均值越高越好。

標準差

標準差表示平均值偏離平均值的量。標準差越高，投資風險越大，因為它會導致更多的不確定性。

以下是相同的圖形表示：

因此，正態分佈透過其均值和標準差的圖形化表示，使得收益和風險都能在一個明確定義的範圍內表示。

它有助於我們瞭解（並確信）如果某些資料集遵循正態分佈模式，它的平均值將使我們能夠知道預期的回報，它的標準差將使我們能夠知道大約68%的值將在1個標準差之內，95%在2個標準偏差內，99%的值在3個標準偏差內。平均值為1.5，標準差為1的資料集比平均值為1.5，標準差為0.1的資料集風險更大。

瞭解每種選定資產（即股票、債券和基金）的這些價值將使投資者瞭解預期收益和風險。

很容易應用這個概念，並代表單一股票、債券或基金的風險和回報。但是，這是否可以擴充套件到多個資產組合？

個人透過購買單一股票或債券或投資共同基金開始交易。漸漸地，他們傾向於增持併購買多種股票、基金或其他資產，從而形成一個投資組合。在這種增量場景中，個人構建投資組合時沒有策略或太多的先見之明。專業基金經理、交易員和做市商遵循一種系統的方法，利用一種建立在“正態分佈”概念基礎上的被稱為現代投資組合理論（MPT）的數學方法來構建他們的投資組合

現代投資組合理論

現代投資組合理論（MPT）提供了一種系統的數學方法，透過選擇各種資產的比例，在給定的投資組合風險下，使投資組合的預期收益最大化。或者，它也提供了一個給定的預期回報水平，以儘量減少風險。

為實現這一目標，投資組閤中的資產不應僅根據其各自的優點來選擇，而應根據每項資產相對於投資組閤中其他資產的表現來選擇。

簡言之，MPT定義瞭如何最好地實現投資組合多樣化，以獲得最佳可能的結果：在可接受的風險水平下獲得最大回報，或在期望的回報水平下獲得最小風險。

積木

MPT是一個革命性的概念，它的發明者獲得了諾貝爾獎。這一理論成功地為指導多元化投資提供了一個數學公式。

多元化是一種風險管理技術，透過投資於不相關的股票、行業或資產類別，消除“一籃子雞蛋裡的所有雞蛋”風險。理想情況下，投資組閤中一項資產的正績效將抵消其他資產的負績效。

取n個不同資產組合的平均收益率，計算各組成資產收益率的比例加權組合。

由於統計計算和正態分佈的性質，總投資組合回報率（Rp）的計算如下：

盧比=∑wiRiR\u p=\sum{w\u iR\u i}Rp​=∑威斯康辛州​裡​

總和(∑), 其中wi是資產i在投資組閤中的比例權重，Ri是資產i的收益（平均值）。

投資組合風險（或標準差）是所有資產對（相對於資產對中的其他資產）所包含資產相關性的函式。

由於統計計算和正態分佈的性質，總體投資組合風險（Std dev）p的計算如下：

(標準−偏差）p=sqrt[∑我∑jwiwj（標準−偏差）i（標準−偏差）j（cor−cofij）]\開始{對齊}&amp\左（標準偏差\右）\u p=\\&amp；sqrt\左[\sum\u i\sum\u j{w\u i}{w\u j}\左（std dev\右）\左（std dev\右）\ u j\左（cor-cof\uij}\右）\右]\\\end{aligned}​(標準−偏差）p​=平方米∑​j∑​威斯康辛州​wj公司​(標準−戴夫）我​(標準−開發）j​(柯爾−科菲​)]​

這裡，cor cof是資產i和j收益之間的相關係數，sqrt是平方根。

這需要考慮每種資產相對於另一種資產的相對錶現。

雖然這在數學上看起來很複雜，但這裡應用的簡單概念不僅包括單個資產的標準差，還包括相互之間的相關標準差。

華盛頓大學有一個很好的例子。

mpt的一個快速示例

作為一個思維實驗，讓我們設想一下，我們是一個獲得了資本的投資組合經理，負責向兩個可用資產（a&amp；C）分配多少資本；B） 使預期收益最大化，降低風險。

我們還有以下可用值：

Ra=0.175

Rb=0.055

（標準偏差）a=0.258

（標準偏差）b=0.115

（標準偏差）ab=-0.004875

（Cor cof）ab=-0.164

從每個資產A和B的50-50分配開始，Rp計算為0.115，（標準偏差）p為0.1323。一個簡單的比較告訴我們，對於這兩種資產組合，收益和風險都在每種資產的個別價值之間。

然而，我們的目標是提高投資組合的回報率，使其超過單個資產的平均水平，並降低風險，使其低於單個資產的回報率。

現在我們來看資產a的資本配置頭寸為1.5，資產B的資本配置頭寸為-0.5(負資本配置是指賣空股票和收到的資本用於購買其他資產的盈餘與正資本配置。換句話說，我們做空B股的價格是資本金的0.5倍，然後用這筆錢以資本金的1.5倍購買A股。）

利用這些值，我們得到Rp為0.1604，（標準偏差）p為0.4005。

同樣，我們可以繼續對資產A和B使用不同的分配權重，並得出不同的Rp和（Std dev）p集。根據期望收益率（Rp），可以選擇最可接受的風險水平（std-dev）p。或者，對於期望的風險水平，可以選擇最佳的可用投資組合回報。無論哪種方式，透過這個投資組合理論的數學模型，都有可能達到建立一個具有期望風險和收益組合的有效投資組合的目標。

自動化工具的使用使人們能夠輕鬆、順利地檢測出最佳分配比例，而無需冗長的手工計算。

有效前沿、資本資產定價模型（CAPM）和MPT資產定價也從同一正態分佈模型演化而來，是MPT的一個擴充套件。

mpt面臨的挑戰（以及基本正態分佈）

不幸的是，沒有一個數學模型是完美的，每個模型都有不足之處和侷限性。

股票價格收益服從正態分佈這一基本假設本身就受到了一次次的質疑。有足夠的經驗證據表明，當值不符合假定的正態分佈時。基於這樣的假設建立複雜的模型可能會導致結果有很大的偏差。

深入到MPT，關於相關係數和協方差保持不變（基於歷史資料）的計算和假設可能不一定適用於未來的預期值。例如，2001年至2004年期間，英國債券市場和股票市場表現出完美的相關性，兩種資產的回報率同時下降。事實上，在2001年之前的很長一段歷史時期，人們都觀察到了相反的情況。

這個數學模型沒有考慮投資者行為。稅收和交易成本被忽略，即使部分資本配置和做空資產的可能性被假定。

實際上，這些假設都不成立，這意味著實現的財務回報可能與預期利潤有很大差異。

底線

數學模型提供了一個很好的機制來量化一些變數與單一的，可追蹤的數字。但由於假設的侷限性，模型可能會失敗。

構成投資組合理論基礎的正態分佈可能不一定適用於股票和其他金融資產的價格模式。投資組合理論本身就有許多假設，在做出重要的財務決策之前，這些假設應該經過嚴格的審查。