微积分是数学的一个重要分支，微分在微积分中起着至关重要的作用。微分的逆过程称为积分，逆过程称为积分，或者简单地说，微分的逆过程给出一个积分。根据所得结果，将积分分为定积分和不定积分两类。

定积分

f（x）的定积分是一个数，表示从x=a到x=b的曲线f（x）下的面积。

定积分有积分的上限和下限，它被称为定积分，因为在问题的最后，我们有一个数字，它是一个确定的答案。

不定积分

f（x）的不定积分是一个函数，它回答了这样一个问题：“微分时什么函数给出f（x）？”

对于一个不定积分，这里的积分没有上限和下限，我们得到的是一个仍然有x的答案，还有一个常数（通常用C表示）。

不定积分通常给出微分方程的通解。

不定积分是积分的一种普遍形式，可以解释为所考虑函数的反导数。

假设函数F的微分导致另一个函数F，F的积分给出积分。象征性地，这是写为

F（x）=∫ƒ(x） dx公司

或

F级=∫ƒ dx公司

其中F和ƒ 是x的函数，F是可微的。在上述形式中，它被称为Reimann积分，由此产生的函数伴随着一个任意常数。

不定积分通常产生一系列函数；因此，积分是不确定的。

积分和积分过程是求解微分方程的核心。然而，与差异化的步骤不同，集成的步骤并不总是遵循一个明确和标准的常规。有时，我们会发现解不能用初等函数显式表示。在这种情况下，解析解通常以不定积分的形式给出。

微积分基本定理

微积分的基本定理把定积分和不定积分联系起来：为了计算定积分，求出函数的不定积分（也称为反导数），并在x=a和x=b的端点处求值。

一旦我们对同一函数的积分进行求值，定积分和不定积分之间的差别就显而易见了。

考虑以下积分：

好 啊。让我们两个都做，看看有什么不同。

对于集成，我们需要在索引中添加一个，从而得到以下表达式：

在这个时间点上，C对我们来说只是一个常数。这个问题需要额外的信息来确定C的精确值。

让我们以确定的形式来计算同一个积分，即包括上下限。

从图形上讲，我们现在计算y=2和y=3之间的曲线f（x）=y3下的面积。

此评估的第一步与不定积分评估相同。唯一的区别是这次我们不加常数C。

本例中的表达式如下所示：

这是导致：

本质上，我们在表达式中先替换3，然后再替换2，得到它们之间的差异。

这是一个定值，与前面使用常数C不同。

让我们更详细地探讨常数因子（关于不定积分）。

如果y3的微分是3y2，那么

∫3y2dy=y3

然而，3y2可能是许多表达式的微分，其中有些表达式包括y3-5、y3+7等。。这意味着反转不是唯一的，因为在操作过程中常量是未知的。

一般来说，3y2是y3+C的微分，其中C是任何常数。顺便说一下，C被称为“积分常数”。

我们这样写：

∫ 3y2.dx=y3+C

不定积分的积分技术，如查表积分或Risch积分，会在积分过程中增加新的不连续性。出现这些新的不连续性是因为反导数可能需要引入复对数。

当变元穿过负实轴时，复对数具有跳跃不连续性，积分算法有时找不到这些跳跃相互抵消的表示。

如果定积分是通过先计算一个不定积分，然后将积分边界代入结果来计算的，那么我们必须意识到不定积分可能会产生不连续性。如果是这样，另外，我们必须研究积分区间中的不连续性。