回归线斜率与相关系数

很多时候，在统计学研究中，把不同的主题联系起来是很重要的。我们将看到一个例子，其中回归线的斜率与相关系数直接相关。由于这些概念都涉及直线，因此很自然会问这样一个问题：“相关系数和最小二乘线是如何相关的？”...

很多时候，在统计学研究中，把不同的主题联系起来是很重要的。我们将看到一个例子，其中回归线的斜率与相关系数直接相关。由于这些概念都涉及直线，因此很自然会问这样一个问题：“相关系数和最小二乘线是如何相关的？”

首先，我们将了解这两个主题的一些背景。

有关相关性的详细信息

记住与相关系数相关的细节很重要，相关系数用r表示。当我们有成对的定量数据时，使用此统计。从成对数据的散点图中，我们可以寻找数据总体分布的趋势。一些配对数据呈现线性或直线模式。但在实践中，数据从来不会精确地沿着直线下降。

一些人在看相同的成对数据散点图时，会不同意它离显示整体线性趋势有多近。毕竟，我们的标准可能有些主观。我们使用的量表也会影响我们对数据的感知。出于这些原因以及更多的原因，我们需要某种客观的测量方法来判断配对数据的线性程度。相关系数为我们实现了这一点。

关于r的一些基本事实包括：

r的值在-1到1之间的任意实数范围内。
接近0的r值意味着数据之间几乎没有线性关系。
r值接近1意味着数据之间存在正线性关系。这意味着随着x的增加，y也会增加。
r值接近-1意味着数据之间存在负线性关系。这意味着随着x的增加，y减小。

最小二乘线的斜率

上面列表中的最后两项将我们指向最佳拟合的最小二乘线的斜率。回想一下，直线的斜率是一个测量单位向上或向下移动多少个单位的单位。有时，这表示为直线的上升除以行程，或y值的变化除以x值的变化。

通常，直线的坡度为正、负或零。如果我们检查我们的最小二乘回归线并比较相应的r值，我们会注意到每次我们的数据具有负相关系数时，回归线的斜率都是负的。类似地，每当我们有正相关系数时，回归线的斜率都是正的。

从这一观察结果可以明显看出，相关系数的符号和最小二乘线的斜率之间肯定存在联系。为什么这是真的还有待解释。

坡度公式

r值和最小二乘线斜率之间的联系的原因与给出这条线斜率的公式有关。对于成对数据（x，y），我们用sx表示x数据的标准偏差，用sy表示y数据的标准偏差。

回归线斜率a的公式为：

a=r（sy/sx）

标准偏差的计算包括取非负数的正平方根。因此，斜率公式中的两个标准偏差必须为非负。如果我们假设我们的数据中存在一些变化，我们将能够忽略这些标准偏差为零的可能性。因此，相关系数的符号将与回归线斜率的符号相同。

发表于 2021-09-23 22:53
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分类：数学

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