数论是数学的一个分支，它关注整数集。我们这样做在一定程度上限制了自己，因为我们不直接研究其他数字，比如非理性数字。但是，使用了其他类型的实数。除此之外，概率论与数论有许多联系和交叉点。其中一个联系与素数的分布有关。更具体地说，我们可能会问，从1到x随机选择的整数是素数的概率是多少？

假设和定义

与任何数学问题一样，重要的是不仅要了解所做的假设，还要了解问题中所有关键术语的定义。对于这个问题，我们考虑的是正整数，即整数1，2，3。直到某个数字x。我们随机选择这些数字中的一个，这意味着所有的x都同样有可能被选择。

我们试图确定一个素数被选择的概率。因此我们需要理解素数的定义。素数是正好有两个因子的正整数。这意味着素数的唯一除数是1和数本身。所以2，3和5是素数，但4，8和12不是素数。我们注意到，因为质数中必须有两个因子，所以数字1不是质数。

低数字的解决方案

对于低数值x，这个问题的解决方案很简单。我们所需要做的只是计算小于或等于x的素数。我们将小于或等于x的素数除以x。

例如，要找到从1到10选择素数的概率，我们需要将从1到10的素数除以10。数字2、3、5、7是素数，因此选择素数的概率为4/10=40%。

从1到50中选择素数的概率可以用类似的方法找到。小于50的素数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43和47。有15个素数小于或等于50。因此，随机选择质数的概率为15/50=30%。

这个过程可以通过简单地计算素数来实现，只要我们有素数列表。例如，有25个素数小于或等于100。（因此，从1到100随机选择的数字是素数的概率是25/100=25%）。然而，如果我们没有素数列表，那么确定小于或等于给定数字x的素数集在计算上可能会令人望而生畏。

素数定理

如果没有小于或等于x的素数的计数，那么有另一种方法来解决这个问题。这个解决方案涉及一个被称为素数定理的数学结果。这是一个关于素数总体分布的陈述，可以用来近似我们试图确定的概率。

素数定理指出，大约有x/ln（x）个素数小于或等于x。这里ln（x）表示x的自然对数，或者换句话说，以数字e为底的对数。随着x值的增加，近似值提高，在这个意义上，我们看到小于x的素数和表达式x/ln（x）之间的相对误差减小。

素数定理的应用

我们可以用素数定理的结果来解决我们试图解决的问题。我们通过素数定理知道，大约有x/ln（x）个素数小于或等于x。此外，总共有x个小于或等于x的正整数。因此，该范围内随机选择的数字为素数的概率为（x/ln（x））/x=1/ln（x）。

实例

我们现在可以使用这个结果来近似从前十亿个整数中随机选择素数的概率。我们计算十亿的自然对数，看到ln（100000000）约为20.7，1/ln（100000000）约为0.0483。因此，我们有大约4.83%的概率从前十亿个整数中随机选择一个素数。