有时在统计学中，看到问题的解决例子是很有帮助的。这些例子可以帮助我们找出类似的问题。在本文中，我们将介绍对两种总体平均数的结果进行推断统计的过程。我们不仅将看到如何对两个总体均值的差异进行假设检验，还将为这种差异构造一个置信区间。我们使用的方法有时称为两样本t检验和两样本t置信区间。

问题的陈述

假设我们想测试小学生的数学能力。我们可能面临的一个问题是，等级越高，平均考试分数越高。

对27名三年级学生进行简单随机抽样，对他们的答案进行评分，结果平均得分为75分，样本标准差为3分。

对20名五年级学生进行简单随机抽样，进行相同的数学测试，并对他们的答案进行评分。五年级学生的平均分数为84分，样本标准差为5分。

鉴于这种情况，我们提出以下问题：

• 样本数据是否为我们提供了证据，证明所有五年级学生的平均测试分数超过了所有三年级学生的平均测试分数？
• 三年级学生和五年级学生的平均考试成绩差异的95%置信区间是多少？

条件和程序

我们必须选择要使用的程序。在进行此操作时，我们必须确保并检查是否满足此程序的条件。我们被要求比较两种人口平均数。可用于实现这一点的一组方法是用于两个样本t程序的方法。

为了对两个样品使用这些t程序，我们需要确保以下条件成立：

• 我们有两个简单的随机样本，来自两个感兴趣的群体。
• 我们的简单随机样本不超过人口的5%。
• 两个样本相互独立，受试者之间没有匹配。
• 变量是正态分布的。
• 这两个群体的总体平均值和标准偏差都是未知的。

我们看到这些条件大部分都得到了满足。我们被告知我们有简单的随机样本。我们所研究的人口众多，因为这些年级有数百万学生。

我们无法自动假设的条件是测试分数是否正态分布。由于我们有足够大的样本量，通过t-过程的稳健性，我们不一定需要变量为正态分布。

由于条件满足，我们进行了两次初步计算。

标准误差

标准误差是对标准偏差的估计。对于此统计，我们将样本的样本方差相加，然后取平方根。这给出了公式：

（s1 2/n1+s22/n2）1/2

通过使用上述值，我们可以看到标准误差的值为

(32 / 27+ 52 / 20)1/2 =(1 / 3 + 5 / 4 )1/2 = 1.2583

自由度

我们可以对自由度使用保守近似。这可能低估了自由度的数量，但计算起来要比使用韦尔奇公式容易得多。我们使用两个样本中较小的一个，然后从这个数字中减去一个。

对于我们的示例，两个样本中较小的一个是20。这意味着自由度的数量是20-1=19。

假设检验

我们希望验证一个假设，即五年级学生的平均测试分数大于三年级学生的平均分数。让μ1为所有五年级学生的平均分。同样，我们将μ2作为所有三年级学生的平均分数。

假设如下：

• H0：μ1-μ2=0
• Ha：μ1-μ2>0

检验统计量是样本均值之间的差值，然后除以标准误差。由于我们使用样本标准差来估计总体标准差，因此测试统计数据来自t分布。

检验统计量值为（84-75）/1.2583。这大约是7点15分。

现在我们确定这个假设检验的p值是多少。我们看一下检验统计量的值，它位于一个具有19个自由度的t分布上。对于这个分布，我们有4.2 x 10-7作为p值。（确定这一点的一种方法是使用Excel中的T.DIST.RT函数。）

因为我们有这么小的p值，我们拒绝了零假设。结论是五年级学生的平均考试成绩高于三年级学生的平均考试成绩。

置信区间

由于我们已经确定平均分数之间存在差异，我们现在确定这两个平均值之间差异的置信区间。我们已经有了很多我们需要的东西。差异的置信区间需要有估计值和误差幅度。

两种平均数之差的估计值很容易计算。我们只需找出样本均值的差异。样本均值的差异估计总体均值的差异。

对于我们的数据，样本均值的差异为84–75=9。

误差幅度的计算稍微困难一些。为此，我们需要将适当的统计数据乘以标准误差。我们需要的统计数据可以通过查阅表格或统计软件找到。

再次使用保守近似，我们有19个自由度。对于95%的置信区间，我们看到t*=2.09。我们可以使用Excel中的T.INV函数来计算该值。

现在我们把所有的东西放在一起，我们的误差范围是2.09 x 1.2583，大约是2.63。置信区间为9±2.63。五年级和三年级学生选择的测试间隔为6.37到11.63分。