置信区间可用于估计若干总体参数。人口比例是一种可以用推断统计估计的参数。例如，我们可能想知道支持某项立法的美国人口的百分比。对于这类问题，我们需要找到一个置信区间。

在本文中，我们将了解如何为人口比例构建置信区间，并检验其背后的一些理论。

总体框架

我们先看大局，然后再谈细节。我们将考虑的置信区间类型如下：

估计+/-误差幅度

这意味着我们需要确定两个数字。这些值是所需参数的估计值以及误差范围。

条件

在进行任何统计测试或程序之前，务必确保满足所有条件。对于人口比例的置信区间，我们需要确保以下条件成立：

• 我们有一个简单的随机样本大小n从一个大的人口
• 我们的个体是独立选择的。
• 我们的样本中至少有15个成功案例和15个失败案例。

如果最后一项不满意，则可以稍微调整我们的样品，并使用+4置信区间。在下文中，我们将假设上述所有条件均已满足。

样本和人口比例

我们从人口比例的估计开始。正如我们使用样本均值来估计总体均值一样，我们也使用样本比例来估计总体比例。人口比例是一个未知参数。样本比例是一种统计数据。这个统计数据是通过计算样本中成功的人数，然后除以样本中的总人数得到的。

人口比例用p表示，不言自明。样本比例的符号更复杂一些。我们将样本比例表示为p̂，我们将此符号读作“p-hat”，因为它看起来像字母p，顶部有一顶帽子。

这将成为我们置信区间的第一部分。p的估计值为p̂。

样本比例的抽样分布

为了确定误差范围的公式，我们需要考虑p̂的抽样分布。我们需要知道平均值、标准偏差和我们正在处理的特定分布。

p̂的抽样分布是一个二项分布，具有p和n试验成功的概率。这类随机变量的平均值为p，标准偏差为（p（1-p）/n）0.5。这有两个问题。

第一个问题是，二项分布可能很难处理。阶乘的存在会导致一些非常大的数字。这就是条件帮助我们的地方。只要我们的条件满足，我们就可以用标准正态分布估计二项分布。

第二个问题是p的标准差在定义中使用了p。未知总体参数将通过使用该参数作为误差范围来估计。这种循环推理是一个需要解决的问题。

解决这一难题的办法是用标准误差代替标准偏差。标准误差基于统计数据，而不是参数。标准误差用于估计标准偏差。这个策略的价值在于我们不再需要知道参数p的值。

公式

为了使用标准误差，我们将未知参数p替换为统计量p̂。结果是人口比例置信区间的以下公式：

p̂+/-z*（p̂（1-p̂））/n）0.5。

这里z*的值由我们的置信水平C决定。对于标准正态分布，标准正态分布的准确C%在-z*和z*之间。z*的常用值包括1.645表示90%置信度，1.96表示95%置信度。

实例

让我们通过一个例子来看看这个方法是如何工作的。假设我们希望以95%的信心了解一个自称民主的县的百分之九十五的选民。我们对该县100人进行了简单的随机抽样，发现其中64人是民主党人。

我们看到所有条件都得到满足。我们的人口比例估计为64/100=0.64。这是样本比例p̂的值，它是置信区间的中心。

误差范围由两部分组成。第一个是z*。正如我们所说，对于95%的置信度，z*的值=1.96。

误差裕度的另一部分由公式（p̂（1-p̂）/n）0.5给出。我们将p̂=0.64，并计算标准误差为（0.64（0.36）/100）0.5=0.048。

我们将这两个数字相乘，得到0.09408的误差幅度。最终结果是：

0.64 +/- 0.09408,

或者我们可以将其改写为54.592%到73.408%。因此，我们有95%的信心，民主党的实际人口比例在这些百分比的范围内。这意味着从长远来看，我们的技术和配方将捕获95%的人口比例。

相关理念

有许多想法和主题与这种类型的置信区间有关。例如，我们可以对人口比例的值进行假设检验。我们还可以比较两个不同群体的两个比例。