总体方差的置信区间示例
总体方差表示如何分布数据集。不幸的是，通常不可能确切知道这个总体参数是什么。为了弥补我们知识的不足，我们使用了一个来自推断统计的主题，称为置信区间。我们将看到一个如何计算总体方差置信区间的示例。
置信区间公式
关于总体方差的（1-α）置信区间的公式。由以下一系列不等式给出：
[（n-1）s2]/B<；σ2<；[（n-1）s2]/A。
这里n是样本量，s2是样本方差。数字A是具有n-1个自由度的卡方分布点，此时曲线下面积的α/2正好位于A的左侧。同样，数字B是相同卡方分布点，曲线下面积的α/2正好位于B的右侧。
预备赛
我们从一个包含10个值的数据集开始。这组数据值是通过一个简单的随机样本获得的：
97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102
需要进行一些探索性数据分析，以表明不存在异常值。通过构建茎叶图，我们发现这些数据可能来自近似正态分布的分布。这意味着我们可以继续寻找总体方差的95%置信区间。
样本方差
我们需要用样本方差估计总体方差，用s2表示。所以我们从计算这个统计开始。本质上，我们是对平均值的平方偏差之和求平均值。然而，我们不是把这个和除以n，而是把它除以n-1。
我们发现样本平均数为104.2。使用该公式，我们得到了与平均值的平方偏差之和，如下所示：
(97 – 104.2)2 + (75 – 104.3)2 + . . . + (96 – 104.2)2 + (102 – 104.2)2 = 2495.6
我们将该总和除以10–1=9，得到277的样本方差。
卡方分布
现在我们来看看卡方分布。因为我们有10个数据值，所以我们有9个自由度。因为我们想要中间95%的分布，所以我们需要两个尾部各有2.5%。我们查阅了卡方表或软件，发现表中2.7004和19.023的值包含了95%的分布面积。这些数字分别是A和B。
我们现在拥有了我们所需要的一切，我们已经准备好集合我们的置信区间。左端点的公式是[（n-1）s2]/B。这意味着我们的左端点是：
（9 x 277）/19.023=133
通过将B替换为A找到右端点：
（9 x 277）/2.7004=923
因此，我们有95%的信心认为人口差异在133到923之间。
总体标准差
当然，由于标准偏差是方差的平方根，因此该方法可用于构建总体标准偏差的置信区间。我们需要做的就是求端点的平方根。结果是标准偏差的95%置信区间。
- 发表于 2021-10-09 19:10
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- 分类：数学
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