置信区间是推断统计的一部分。本主题的基本思想是使用统计样本估计未知总体参数的值。我们不仅可以估计参数的值，还可以调整我们的方法来估计两个相关参数之间的差异。例如，我们可能想找出支持某项立法的美国男性投票人口与女性投票人口的百分比差异。

我们将看到如何通过为两个总体比例的差异构建置信区间来进行此类计算。在这个过程中，我们将研究这个计算背后的一些理论。我们将看到，在如何构造单个总体比例的置信区间以及两个总体均值差异的置信区间方面存在一些相似之处。

概括性

在查看我们将使用的具体公式之前，让我们考虑一下这种类型的置信区间适合的整体框架。我们将研究的置信区间类型的形式由以下公式给出：

估计+/-误差幅度

许多置信区间都属于这种类型。我们需要计算两个数字。这些值中的第一个是参数的估计值。第二个值是误差范围。这个误差幅度说明了我们确实有一个估计。置信区间为我们提供了未知参数的一系列可能值。

条件

在进行任何计算之前，我们应该确保满足所有条件。为了找到两个总体比例差异的置信区间，我们需要确保以下条件成立：

• 我们有两个来自大群体的简单随机样本。这里的“大”意味着群体至少是样本大小的20倍。样本量用n1和n2表示。
• 我们的个体是独立选择的。
• 我们的每个样本至少有十个成功和十个失败。

如果列表中的最后一项不满意，那么可能有办法解决这个问题。我们可以修改加上四个置信区间的结构，并获得稳健的结果。当我们继续前进时，我们假设上述所有条件都已满足。

样本和人口比例

现在我们已经准备好构造置信区间。我们从估计人口比例之间的差异开始。这两种人口比例都是通过抽样比例来估计的。这些样本比例是通过除以每个样本中的成功次数，然后除以相应的样本大小得到的统计数据。

第一个人口比例由p1表示。如果我们的样本中来自该人群的成功数量为k1，那么我们的样本比例为k1/n1。

我们用p̂1表示这个统计。我们把这个符号读作“p1帽子”，因为它看起来像上面有帽子的符号p1。

以类似的方式，我们可以从第二个群体中计算样本比例。此总体的参数为p2。如果我们的样本中来自该人群的成功数量为k2，我们的样本比例为p̂2=k2/n2。

这两个统计数据成为我们置信区间的第一部分。p1的估计值为p̂1。p2的估计值为p̂2。所以p1-p2差的估计值是p̂1-p̂2。

样本比例差异的抽样分布

接下来我们需要得到误差范围的公式。为此，我们首先考虑P 1的采样分布。这是一个具有p1和n1试验成功概率的二项分布。该分布的平均值为比例p1。这类随机变量的标准偏差的方差为p1（1-p1）/n1。

p̂2的抽样分布与p̂1相似。只要将所有指数从1改为2，我们就得到了一个二项分布，平均值为p2，方差为p2（1-p2）/n2。

我们现在需要一些数理统计的结果来确定p̂1-p̂2的抽样分布。该分布的平均值为p1-p2。由于方差相加的事实，我们看到抽样分布的方差为p1（1-p1）/n1+p2（1-p2）/n2。分布的标准偏差是该公式的平方根。

我们需要做一些调整。第一个是p̂1-p̂2的标准偏差公式使用了p1和p2的未知参数。当然，如果我们真的知道这些值，那么这将不是一个有趣的统计问题。我们不需要估计p1和p2之间的差异。。相反，我们可以简单地计算出精确的差异。

这个问题可以通过计算标准误差而不是标准偏差来解决。我们所需要做的就是用样本比例取代人口比例。标准误差是根据统计数据而不是参数计算的。标准误差很有用，因为它可以有效地估计标准偏差。这对我们来说意味着我们不再需要知道参数p1和p2的值。由于已知这些样本比例，标准误差由以下表达式的平方根表示：

p̂1（1-p̂1）/n1+p̂2（1-p̂2）/n2。

我们需要解决的第二个问题是抽样分布的特殊形式。事实证明，我们可以使用正态分布来近似p̂1-p̂2的抽样分布。原因有点技术性，但将在下一段中概述。

p̂1和p̂2的抽样分布都是二项式的。这些二项分布中的每一个都可以用正态分布很好地近似。因此p̂1-p̂2是一个随机变量。它是两个随机变量的线性组合。每一个都近似于正态分布。因此，p̂1-p̂2的抽样分布也是正态分布。

置信区间公式

我们现在已经具备了收集置信区间所需的一切。估计值为（p̂1-p̂2），误差幅度为z*[p̂1（1-p̂1）/n1+p̂2（1-p̂2）/n2.]0.5。我们为z*输入的值由置信度C决定。常用的z*值为1.645（90%置信度）和1.96（95%置信度）。z*的这些值表示标准正态分布的部分，其中正态分布的C%介于-z*和z*之间。

以下公式为我们提供了两个总体比例差异的置信区间：

（p̂1-p̂2）+/-z*[p̂1（1-p̂1）/n1+p̂2（1-p̂2）/n2.]0.5