在看散点图时,有很多问题要问。最常见的问题之一是想知道直线与数据的近似程度。为了帮助回答这个问题,有一个描述性统计称为相关系数。我们将看到如何计算这个统计数据。
用r表示的相关系数告诉我们散点图中的数据沿直线下降的程度。r的绝对值越接近1,数据就越适合用线性方程来描述。如果r=1或r=-1,则数据集完全对齐。r值接近零的数据集几乎没有直线关系。
由于计算时间较长,最好使用计算器或统计软件计算r。然而,当你的计算器在计算的时候,了解它在做什么总是值得的。下面是一个主要通过手工计算相关系数的过程,其中计算器用于常规算术步骤。
我们将首先列出计算相关系数的步骤。我们正在处理的数据是成对的数据,每对数据都用(xi,yi)表示。
这个过程并不难,每个步骤都相当常规,但所有这些步骤的收集都相当复杂。标准偏差的计算本身就已经够繁琐的了。但相关系数的计算不仅涉及两个标准差,还涉及许多其他操作。
为了确切地了解r的值是如何得到的,我们看一个例子。同样,需要注意的是,对于实际应用,我们希望使用计算器或统计软件为我们计算r。
我们从配对数据列表开始:(1,1)、(2,3)、(4,5)、(5,7)。x值的平均值,1、2、4和5的平均值是x̄=3。我们还有ȳ=4。计算结果的标准偏差
x值为sx=1.83,sy=2.58。下表总结了r所需的其他计算。最右边一列中的乘积之和为2.969848。因为总共有四个点,4–1=3,我们将乘积之和除以3。这给了我们一个相关系数r=2.969848/3=0.989949。
x | Y | zx | zY | zxZY |
---|---|---|---|---|
1. | 1. | -1.09544503 | -1.161894958 | 1.272792057 |
2. | 3. | -0.547722515 | -0.387298319 | 0.212132009 |
4. | 5. | 0.547722515 | 0.387298319 | 0.212132009 |
5. | 7. | 1.09544503 | 1.161894958 | 1.272792057 |
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