如何微分多项式(differentiate polynomials)

微分是微积分的基本过程之一。微分一个函数（通常称为f（x））会产生另一个称为导数的函数，写为f'（x）（“x的f素数”）。这个导数在物理和数学中有很多用途。例如，如果我们画一个多项式f（x），导数f’（x）告诉我们原始函数在所有点的斜率（变化率）。本文的第一部分教你区分多项式的每一项，一次一项。第二部分使用这种方法来处理一个典型的示例问题，即微分整个多项式。经过一些练习，微分5x3{\displa...

方法1方法1/2：微分多项式项

1将任何常数微分为零。常数是任何普通数字，不涉及任何变量，例如3、-16或2/3{\displaystyle 2/3}。在任何微分问题中，这些都是免费的，因为它们的导数总是0。划掉这个词，继续前进。用ddx（3）=0{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x}（3）=0}的形式写这个。这表示“3对x的导数是0。”一个术语的导数是该术语的“变化率”：该术语在函数中变化的速度。因为常数永远不会改变（3将始终保持3），所以它的变化率始终为零。

Image titled Differentiate Polynomials Step 1

$2/3$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(3)=0$

2将x1{\displaystyle x^{1}区分为1。术语x1{\displaystyle x^{1}}（我们通常将其写成简单的x{\displaystyle x}）是另一个很容易区分的术语，只要您了解了规则。x{\displaystyle x}相对于x{\displaystyle x}的导数总是1。将其写成ddx（x）=1{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}（x）=1}。符号dx的意思是“相对于x的导数”。这意味着我们正在改变x的值，并观察其他项的响应变化是快还是慢。在ddx（x）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x}（x）}中，我们将x的变化与x的变化进行比较。这是同样的事情，这就是为什么变化率为1。

Image titled Differentiate Polynomials Step 2

$x^{1}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)=1$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)$

3将x2{\displaystyle x^{2}的导数写成2x{\displaystyle 2x}。指数中的2在x前面移动，成为系数（该数字乘以x）同时，x2{\displaystyle x^{2}}被缩减为x{\displaystyle x}。你注意到一种模式了吗？在导数中，变量的指数值总是比原始项中的值低一个。x2{\displaystyle x^{2}}被“降级”为x1{\displaystyle x^{1}}（即x），x1{\displaystyle x^{1}}被“降级”为x0{\displaystyle x^{0}（等于1）。由于变量指数的值被称为多项式的“度”，我们可以说，对一个项进行微分会将该项的度减少一次。

Image titled Differentiate Polynomials Step 3

$x^{2}$

$x^{{2}}$

$x^{2}$

$x^{1}$

$x^{0}$

4微分xn{\displaystyle x^{n}}得到nxn−1{\displaystyle nx^{n-1}。或者在英语中：要区分一个被提升为指数的变量x，将该指数作为系数写在x前面，然后将指数减少1。这是最有用的区分规则之一。上面推导x2{\displaystyle x^{2}和x{\displaystyle x}的规则实际上只是这个一般规则的具体例子。示例：什么是ddx（x7）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}（x^{7}}）（x7{\displaystyle x^{7}对x的导数）？指数7变成了项前面的系数：7x？{\displaystyle 7x^{？}新指数比原指数低一，7-1=6。答案是7x6{\displaystyle 7x^{6}。

Image titled Differentiate Polynomials Step 4

$x^{n}$

$nx^{n-1}$

$x^{2}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{7})$

$x^{7}$

$7x^{?}$

$7x^{6}$

5乘以原始项的系数。当你区分这个术语时，变量前面的系数不会改变。如果你的答案中有不止一个系数，把它们相乘。示例：什么是ddx（5x3）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（5x^{3}}）？ddx（5x3）=5×ddx（x3）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x}（5x^{3}）=5乘以{\frac{\mathrm{d}{\mathrm{d}x}（x^{3}）（这意味着我们可以找到x3{\displaystyle x^{3}的导数，然后将我们的答案乘以5。）3）使指数3成为一个系数，然后减少指数1：ddx（3 3）3=3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3}=5乘以3x^{2}=15x^{2}

Image titled Differentiate Polynomials Step 5

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x^{3})$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x^{3})=5\times {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{3})$

$x^{3}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{3})=3x^{2}$

$5\times {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{3})=5\times 3x^{2}=15x^{2}$

方法2方法2/2：微分整多项式

1将每个术语作为单独的问题处理。多项式包含多个加或减的项。要区分多项式，请分别区分每个项。可以不使用所有的加减符号。例如，以f（x）为例=−12x3+x2−5x+6{\displaystyle f（x）=-12x^{3}+x^{2}-5x+6}。导数f′（x）{\displaystyle f′（x）}等于每个项的导数，加或减与原始项相同。用数学术语，我们可以这样写：ddx（f（x））=ddx(−12x3+x2−5x+6）{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x}（f（x））={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（-12x^{3}+x^{2}-5x+6}=ddx(−12x3）+ddx（x2）−ddx（5x）+ddx（6）{\displaystyle={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（-12x{3}）+{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（x^{2}）{\frac{\mathrm{d}{d}{x}（5x}+frac{\mathrm{d}{d}。

Image titled Differentiate Polynomials Step 6

$f(x)=-12x^{3}+x^{2}-5x+6$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f(x))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-12x^{3}+x^{2}-5x+6)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-12x^{3})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(6)$

2去掉常数项。如果有一个常数（一个没有变量的项），删除它。微分总是去掉常数项。在我们的例子中，6是常数。ddx（6）=0{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（6）=0}，所以我们可以去掉它。注意：只有不带变量的项才是常量。此规则不影响乘以x或任何其他变量的数字。

Image titled Differentiate Polynomials Step 7

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(6)=0$

3将每个变量的指数移到术语的前面。记住，当我们微分时，每个变量的指数都变成了一个系数。如果项前面已经有一个系数，将两个系数相乘。f′（x）=ddx(−12x3）+ddx（x2）−ddx（5x）{\displaystyle f'（x）={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（-12x{3}）+{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}（x^{2}）{\frac{\mathrm{d}{d}{x}（5x}）−12） x+2倍？−（1×5）x？{\displaystyle=（3次-12）x^{？}+2x^{？}-（1乘以5）x ^{？}=−36x+2倍？−5倍？{\displaystyle=-36x^{？}+2x^{？}-5x^{？}由于x=x1{\displaystyle x=x^{1}，我们取“1”指数，并将其移动到5x{\displaystyle 5x}项前面。因为乘以1永远不会改变这个术语，一旦你明白了发生了什么，你就可以跳过这一步。

Image titled Differentiate Polynomials Step 8

$f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-12x^{3})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(5x)$

$=(3\times -12)x^{?}+2x^{?}-(1\times 5)x^{?}$

$=-36x^{?}+2x^{?}-5x^{?}$

$x=x^{1}$

4将每个指数降低一度。为此，从每个变量项的每个指数中减去1。f′（x）=−36x3−1+2x2−1.−5x1−1{\displaystyle f'（x）=-36x^{3-1}+2x^{2-1}-5x^{1-1}=−36x2+2x1−5x0{\displaystyle=-36x^{2}+2x^{1}-5x^{0}=−36x2+2x−5{\displaystyle=-36x^{2}+2x-5}记住x1{\displaystyle x^{1}}与x{\displaystyle x}相同。还要记住，任何提升到零次方（x0{\displaystyle x^{0}}）的值都等于1。

Image titled Differentiate Polynomials Step 9

$f'(x)=-36x^{3-1}+2x^{2-1}-5x^{1-1}$

$=-36x^{2}+2x^{1}-5x^{0}$

$=-36x^{2}+2x-5$

$x^{{1}}$

$x^{{0}}$

5在给定的“x”值下求出新方程的值。您已经完成了差异化，但在测试问题中有一个常见的下一步。如果你被要求“计算表达式”中的x值，你所需要做的就是用给定的值替换新方程中的每个x并求解。例如，计算x=2时的导数f'（x）。我们发现的微分方程是f′（x）=−36x2+2x−5{\displaystyle f'（x）=-36x^{2}+2x-5}f′（2）=−36(2)2+2(2)−5{\displaystyle f'（2）=-36（2）^{2}+2（2）-5}=−36(4)+4−5{\displaystyle=-36（4）+4-5}=−144+4−5{\displaystyle=-144+4-5}=−145{\displaystyle=-145}这个答案与原始函数f（x）有关。它告诉我们，如果我们在x=2处画一条切线，那条切线的斜率是-145。

Image titled Differentiate Polynomials Step 10

$f'(x)=-36x^{2}+2x-5$

$f'(2)=-36(2)^{2}+2(2)-5$

$=-36(4)+4-5$

$=-144+4-5$

$=-145$

额外棘手的问题可能包括变为负指数或分数指数的变量。这些函数在技术上不是多项式，但你可以用同样的规则来区分它们。仔细工作，确保从负指数中正确减去。例如，ddx（7x−4） {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}（7x^{-4}）=(−4×7）x−4.−1{\displaystyle=（-4乘以7）x^{-4-1}=−28x−5{\displaystyle=-28x^{-5}。

发表于 2022-03-22 16:00
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分类：教育

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