概率图

骰子概率图

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方法1方法1/4：枚举

1. 1记下骰子的数量、边数和所需的总数。

2. 2计算出所有求和的方法。对于大量的骰子来说，这可能会很乏味，但相当简单。这相当于将k的所有分区精确地划分为n个部分，且没有任何部分大于r。下面给出了n=5、r=6和k=12的示例。为了确保计数是穷举的，并且没有分区被计数两次，分区按字典顺序显示，每个分区中的骰子按非递减顺序显示。

3. 3并非上一步中列出的所有分区都具有相同的可能性。这就是为什么他们必须被列出，而不是简单地计算。在一个较小的三模示例中，分区123覆盖6种可能性（123、132、213、231、312、321），而分区114仅覆盖3种可能性（114、141、411），222仅包括其自身。使用多项式公式计算在每个分区中排列数字的方法数。此信息已从上一节添加到表中。

4. 4将获得所需总和的方法总数相加。

5. 5除以结果总数。因为每个模具都有r个同样可能的面，所以这就是rn。

方法2方法2/4：递归

这种方法给出了所有骰子数的所有和的概率。它可以很容易地在电子表格上实现。

1. 1注意单个模具的结果概率。将它们记录在电子表格中。所示示例使用六面骰子。负和的空行被视为零，并允许在所有行中使用相同的公式。

2. 如图2所示，使用公式2。也就是说，2个骰子显示任意和k的概率等于以下事件的和。对于非常高或非常低的k值，部分或全部或这些项可能为零，但公式对所有k都有效。第一个骰子显示k-1，第二个显示1。第一个模具显示k-2，第二个显示2。第一个模具显示k-3，第二个显示3。第一个模具显示k-4，第二个显示4。第一个模具显示k-5，第二个显示5。第一个模具显示k-6，第二个显示k-6。

3. 3同样地，对于三个或更多的骰子，同样的公式仍然适用，使用已知的概率计算每一个给定的骰子在少一个骰子上的概率。因此，在第二步中输入的公式可以向下和横向填充，直到表格包含所需的尽可能多的数据。

4. 4显示的电子表格计算的是“方式数”而不是“概率”，但在它们之间转换很容易：概率=方式数/r^n，其中r是每个模具上的边数，n是骰子数。或者，可以修改电子表格以直接计算概率。

方法3方法3/4：生成函数

1. 1写出多项式（1/r）（x+x2+…+xr）。这是单个模具的生成函数。xk项的系数是模具显示k的概率。

2. 2将该多项式提高到n次方，得到n个骰子上显示的和的相应生成函数。这就是compute（1/rn）（x+x2+…+xr）n。如果n大于约2，您可能需要在计算机上执行此操作。

3. 3从计算上来说，这与前面的方法是等价的，但有时用母函数推导理论结果更容易。例如，投掷两个规则的六面骰子的和分布与标记为（1、2、2、3、3、4）的骰子和标记为（1、3、4、5、6、8）的骰子完全相同。这是因为（x+x2+x2+x3+x3+x4）（x+x3+x4+x5+x6+x8）=（x+x2+x3+x4+x5+x6）（x+x2+x3+x4+x5+x6）。

方法4方法4/4：连续近似

1. 1对于大量骰子，使用上述方法进行精确计算可能会很困难。中心极限定理表明，随着骰子数量的增加，相同骰子数量之和接近正态分布。

2. 2根据骰子的数量和类型计算平均值和标准差。假设n，应用下面的公式。平均值为（r+1）/2。方差为n（r^2-1）/12。标准差是方差的平方根。

3. 3.使用具有上述平均值和标准偏差的正态分布作为骰子总数的近似值。