滚动yahtzee的概率
Yahtzee是一款骰子游戏，涉及机会和策略的结合。玩家以掷五个骰子开始他们的回合。在此掷骰之后，玩家可以决定重新掷任意数量的骰子。最多，每圈总共有三卷。在这三次掷骰之后，骰子的结果被输入计分表。此分数表包含不同的类别，例如满座或大直道。每个类别都满足于不同的骰子组合。
最难填写的类别是Yahtzee。当一个玩家掷相同数字的五个骰子时，就会出现一个“Yahtzee”。一个Yahtzee的可能性有多大？这是一个比寻找两个甚至三个骰子的概率要复杂得多的问题。主要原因是在三次掷骰中获得五个匹配骰子的方法很多。
我们可以通过使用组合数学公式，并通过将问题分解为几个相互排斥的情况，来计算滚动Yahtzee的概率。
一卷
最简单的情况是在第一卷上立即获得一个YAZZEE。我们将首先研究滚动一个特定的五个二的Yahtzee的概率，然后很容易地将其扩展到任何Yahtzee的概率。
滚动两个模具的概率为1/6，每个模具的结果独立于其他模具。因此，滚动五个二的概率为（1/6）x（1/6）x（1/6）x（1/6）x（1/6）=1/7776。任何其他数字滚动五次的概率也是1/7776。由于一个模具上总共有六个不同的数字，我们将上述概率乘以6。
这意味着第一卷上的Yahtzee概率为6 x 1/7776=1/1296=0.08%。
两卷
若我们掷的不是第一个骰子中的五个，我们将不得不重新掷一些骰子以获得一个Yahtzee。假设我们的第一卷有四个同类。我们会重新掷一个不匹配的骰子，然后在第二个骰子上得到一个Yahtzee。
以这种方式总共滚动五个2的概率如下所示：
- 在第一卷中，我们有四个二。由于滚动a 2的概率为1/6，不滚动a 2的概率为5/6，因此我们乘以（1/6）x（1/6）x（1/6）x（1/6）x（5/6）=5/7776。
- 五个骰子中的任何一个都可能是非两个。我们使用C（5，1）=5的组合公式来计算我们可以滚动四个2和一些不是2的东西的方式。
- 我们乘起来，看到在第一次滚动时，恰好滚动四个2的概率是25/7776。
- 在第二次滚动时，我们需要计算滚动1-2的概率。这是1/6。因此，以上述方式滚动一个由两个组成的Yahtzee的概率为（25/7776）x（1/6）=25/46656。
通过将上述概率乘以6，可以找到以这种方式滚动任何Yahtzee的概率，因为模具上有六个不同的数字。这给出了6x25/46656=0.32%的概率。
但这并不是用两卷卷轴来卷起一个雅特兹的唯一方法。以下所有概率的发现方式与上述基本相同：
- 我们可以掷三个相同的骰子，然后在第二个骰子上掷两个相匹配的骰子。这一概率为6xC（5,3）x（25/7776）x（1/36）=0.54%。
- 我们可以掷一对相匹配的骰子，第二次掷三个骰子。这一概率为6xC（5,2）x（100/7776）x（1/216）=0.36%。
- 我们可以掷五个不同的骰子，从第一个骰子中保存一个骰子，然后在第二个骰子上掷四个匹配的骰子。这一概率为（6！/7776）x（1/1296）=0.01%。
上述情况是相互排斥的。这意味着要计算在两卷中滚动一个Yahtzee的概率，我们将上述概率加在一起，得到的概率约为1.23%。
三卷
对于目前最复杂的情况，我们现在将研究使用所有三个卷来获得Yahtzee的情况。我们可以通过几种方式做到这一点，并且必须考虑所有这些方式。
这些可能性的概率计算如下：
- 滚动一种类型的四个，然后不滚动，然后匹配最后一个滚动上的最后一个模具的概率是6 x C（5，4）x（5/7776）x（5/6）x（1/6）=0.27%。
- 滚动三次，然后不滚动，最后一次滚动时与正确对匹配的概率为6 x C（5,3）x（25/7776）x（25/36）x（1/36）=0.37%。
- 滚动匹配对，然后不滚动，然后在第三次滚动时与正确的三对匹配的概率为6 x C（5,2）x（100/7776）x（125/216）x（1/216）=0.21%。
- 滚动一个模具，然后不匹配该模具，然后在第三个模具上匹配正确的四个模具的概率为（6！/7776）x（625/1296）x（1/1296）=0.003%。
- 轧制同一类型的三个模具，在下一卷上匹配另一个模具，然后在第三卷上匹配第五个模具的概率为6 x C（5,3）x（25/7776）x C（2,1）x（5/36）x（1/6）=0.89%。
- 轧制一对，在下一卷上匹配另一对，然后在第三卷上匹配第五个模具的概率为6 x C（5,2）x（100/7776）x C（3,2）x（5/216）x（1/6）=0.89%。
- 滚动一对骰子，在下一卷上匹配另一个骰子，然后在第三卷上匹配最后两个骰子的概率为6 x C（5,2）x（100/7776）x C（3,1）x（25/216）x（1/36）=0.74%。
- 在第二卷上轧制一种模具，另一种模具与之匹配，然后在第三卷上轧制三种模具的概率为（6！/7776）x C（4,1）x（100/1296）x（1/216）=0.01%。
- 在第二卷中滚动一种，第三卷中滚动一种的概率为（6！/7776）x C（4,3）x（5/1296）x（1/6）=0.02%。
- 在第二卷上滚动一对匹配，然后在第三卷上滚动另一对匹配的概率为（6！/7776）xC（4,2）x（25/1296）x（1/36）=0.03%。
我们将上述所有概率相加，以确定在三卷骰子中掷骰子的概率。这个概率是3.43%。
总概率
一卷中出现Yahtzee的概率为0.08%，两卷中出现Yahtzee的概率为1.23%，三卷中出现Yahtzee的概率为3.43%。因为每一个都是互斥的，所以我们把概率加在一起。这意味着在给定回合中获得Yahtzee的概率约为4.74%。考虑到这一点，由于1/21约为4.74%，仅仅是一个偶然的机会，玩家就应该期望每21圈有一次Yahtzee。在实践中，可能需要更长的时间，因为最初的一对可能会被丢弃，以滚动其他东西，如直线。
- 发表于 2021-09-25 06:51
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- 分类：数学
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