垄断博弈中的概率
垄断是一种棋盘游戏，玩家可以将资本主义付诸行动。玩家买卖财产，并相互收取租金。虽然游戏中有社交和战略部分，但玩家通过掷两个标准的六面骰子在棋盘上移动棋子。因为这控制了玩家的移动方式，所以游戏也有一个概率方面。通过只知道一些事实，我们可以计算出在游戏开始的前两个回合中，它降落在特定空间的可能性有多大。
骰子
在每一回合中，玩家掷两个骰子，然后在棋盘上移动他或她的棋子到许多空格。因此，回顾掷两个骰子的概率是有帮助的。总之，以下金额是可能的：
- 二之和的概率为1/36。
- 三之和的概率为2/36。
- 四之和的概率为3/36。
- 五之和的概率为4/36。
- 六之和的概率为5/36。
- 七之和的概率为6/36。
- 八之和的概率为5/36。
- 九之和的概率为4/36。
- 十之和的概率为3/36。
- 11之和的概率为2/36。
- 十二之和的概率为1/36。
随着我们的继续，这些概率将非常重要。
垄断游戏板
我们还需要注意垄断游戏板。游戏板周围总共有40个空间，其中28个是可以购买的房产、铁路或公用设施。六个空间涉及从Chance或社区公益金堆中抽取一张卡。三个空间是没有任何事情发生的自由空间。涉及纳税的两个领域：所得税或奢侈品税。一个空格将玩家送进监狱。
我们只会考虑垄断的前两个回合。在这些转弯过程中，我们最多只能绕着棋盘转12圈，总共移动24个空格。因此，我们将只检查电路板上的前24个空格。按顺序，这些空间是：
- 地中海大道
- 公益金
- 波罗的海大道
- 所得税
- 雷丁铁路
- 东方大道
- 机会
- 佛蒙特大道
- 康涅狄格州税
- 只是去监狱
- 圣詹姆斯广场
- 电力公司
- 州大道
- 弗吉尼亚大道
- 宾夕法尼亚铁路公司
- 圣詹姆斯广场
- 公益金
- 田纳西大道
- 纽约大道
- 免费停车场
- 肯塔基大道
- 机会
- 印第安纳大道
- 伊利诺伊大道
第一回合
第一个转弯相对简单。既然我们有掷两个骰子的概率，我们只需将它们与适当的方块匹配。例如，第二个空间是一个公益金广场，滚动两次之和的概率为1/36。因此，在第一次转弯时，有1/36的概率落在公益金上。
以下是第一次转弯时在以下空间着陆的概率：
- 公益金-1/36
- 波罗的海大道-2/36
- 所得税-3/36
- 雷丁铁路-4/36
- 东方大道-5/36
- 机会–6/36
- 佛蒙特大道-5/36
- 康涅狄格州税收-4/36
- 只是参观监狱-3/36
- 圣詹姆斯广场-2/36
- 电力公司-1/36
第二回合
计算第二次转弯的概率有些困难。我们可以在两个转弯处总共滚动两次，最少滚动四格，或者在两个转弯处总共滚动12次，最多滚动24格。也可以到达4到24之间的任何空格。但这些可以通过不同的方式来实现。例如，通过移动以下任意组合，我们总共可以移动七个空间：
- 第一个转弯处两个空格，第二个转弯处五个空格
- 第一个转弯处有三个空格，第二个转弯处有四个空格
- 第一个转弯处有四个空格，第二个转弯处有三个空格
- 第一个转弯处有五个空格，第二个转弯处有两个空格
在计算概率时，我们必须考虑所有这些可能性。每个回合的投掷与下一回合的投掷无关。所以我们不需要担心条件概率，只需要乘以每个概率：
- 滚动一个2然后滚动一个5的概率是（1/36）x（4/36）=4/1296。
- 滚动三个然后滚动四个的概率是（2/36）x（3/36）=6/1296。
- 滚动四个然后滚动三个的概率是（3/36）x（2/36）=6/1296。
- 滚动一个5然后滚动一个2的概率是（4/36）x（1/36）=4/1296。
互斥加法规则
以相同的方式计算两圈的其他概率。对于每种情况，我们只需要找出所有可能的方法来获得与游戏板的平方相对应的总和。以下是第一次转弯时在以下空间着陆的概率（四舍五入至百分之一百）：
- 所得税–0.08%
- 雷丁铁路-0.31%
- 东方大道-0.77%
- 机会–1.54%
- 佛蒙特大道-2.70%
- 康涅狄格州税收-4.32%
- 刚进监狱——6.17%
- 圣詹姆斯广场-8.02%
- 电力公司-9.65%
- 州大道-10.80%
- 弗吉尼亚大道-11.27%
- 宾夕法尼亚铁路-10.80%
- 圣詹姆斯广场-9.65%
- 公益金-8.02%
- 田纳西大道6.17%
- 纽约大道4.32%
- 免费停车–2.70%
- 肯塔基大道-1.54%
- 机会–0.77%
- 印第安纳大道-0.31%
- 伊利诺伊大道-0.08%
超过三圈
更多的转弯，情况变得更加困难。一个原因是，按照游戏规则，如果我们连续三次掷双打，我们就会坐牢。这个规则会影响我们的概率，我们以前没有考虑过。除此之外，还有机会卡和公益金卡的影响，我们没有考虑。其中一些牌引导玩家跳过空格，直接进入特定空格。
由于计算复杂度的增加，使用蒙特卡罗方法计算多个回合的概率变得更加容易。计算机可以模拟数十万甚至数百万的垄断游戏，登陆每个空间的概率可以从这些游戏中经验计算出来。
- 发表于 2021-10-09 19:17
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- 分类：数学
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