什麼是複利(compound interest)？

複利（或複利）是貸款或存款的利息，根據初始本金和以前期間的累計利息計算。複利被認為起源於17世紀的義大利，可以被認為是“利息對利息”，它將使一筆款項以比單純的利息（僅按本金計算）更快的速度增長。

複利的增長率取決於複利的頻率，因此複利期數越多，複利就越大。因此，在同一時期內，按10%的年複利計算的100美元的應計複利金額將低於按5%的半年複利計算的100美元的複利金額。由於利息對利息效應可以在初始本金的基礎上產生越來越正的回報，因此有時被稱為“複利奇跡”

關鍵要點

• 複利（或複利）是按初始本金計算的利息，也包括存款或貸款以前期間的所有累計利息。
• 複利的計算方法是：初始本金乘以1，再加上提高到複利期數的年利率減去1。
• 利息可以在任何給定的頻率表上複利，從連續到連續
• 在計算複利時，複利期的數量會產生顯著的差異。

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理解複利

計算複利

複利的計算方法是：初始本金乘以1，再加上提高到複利期數的年利率減去1。然後從所得價值中減去貸款的初始總額。

複利計算公式為：

• 複利=未來本息總額（或未來價值）減去 本期本金（或現值）

哪裡：

以5%的年利率貸款10000美元。利息是多少？在這種情況下，應該是：

複利增長

從上面的例子來看，由於複利還考慮了以前各期的累計利息，因此三年的利息數額與單利不同。雖然這項貸款三年期的應付利息總額為1576.25美元，但每年年底的應付利息如下表所示。

複利期

在計算複利時，複利期的數量會產生顯著的差異。基本規則是複利期數越多，複利金額就越大。

下表顯示了10年期內年利率為10%的10000美元貸款的複利期數的差異。

從長期來看，複利可以顯著提高投資回報。一筆10萬美元的存款，如果獲得5%的簡單年利率，那麼10年的總利息將達到5萬美元，而同期1萬美元的5%年複利將達到62889.46美元。如果複利期改為在相同的10年期內按月支付5%的複利，則利息總額將增至64700.95美元。

excel複合計算

如果你已經有一段時間沒有上數學課了，不要擔心：有一些方便的工具可以幫助你計算複合。許多計算器（手持式和基於計算機的）具有指數函式，可用於這些目的。如果出現更複雜的複合任務，可以使用MicrosoftExcel以三種不同的方式完成。

1. 計算複利的第一種方法是用每年的新餘額乘以利率。假設你把1000美元存入一個年利率為5%的儲蓄賬戶，然後你想計算五年後的餘額。在Microsoft Excel中，在A1單元格中輸入“年”，在B1單元格中輸入“餘額”。在單元格A2到A7中輸入0到5年。第0年的餘額是1000美元，因此您可以在單元格B2中輸入“1000”。接下來，在單元格B3中輸入“=B2*1.05”。然後在單元格B4中輸入“=B3*1.05”，並繼續執行此操作，直到到達單元格B7。在單元格B7中，計算為“=B6*1.05”。最後，B7單元格的計算值——1276.28美元——是你五年後儲蓄賬戶的餘額。要找到複利值，從1276.28美元中減去1000美元；這個值是276.28美元。
2. 計算複利的第二種方法是使用固定公式。複利公式為（（P*（1+i）^n）-P，其中P為本金，i為年利率，n為期數。使用上述相同資訊，在單元格A1中輸入“Principal value”，在單元格B1中輸入1000。接下來，在單元格A2中輸入“利率”，在單元格B2中輸入“.05”。在單元格A3中輸入“複合期間”，在單元格B3中輸入“5”。現在您可以透過輸入“=（B1*（1+B2）^B3）-B1”來計算B4單元格中的複利，這將為您提供276.28美元。
3. 計算複利的第三種方法是建立一個巨集函式。首先啟動visualbasic編輯器，它位於developer選項卡中。單擊“**”選單，然後單擊“模組”。然後在第一行鍵入“函式複利（P為Double，i為Double，n為Double）”作為Double。在第二行中，按tab鍵並鍵入“複利=（P*（1+i）^n）-P”。在模組的第三行中，輸入“結束函式”。您已經建立了一個用於計算複利率的函式巨集。繼續上面相同的Excel工作表，在單元格A6中輸入“複利”，然後輸入“=複利（B1、B2、B3）。”這將為您提供276.28美元的值，這與前兩個值一致。

使用其他計算器

如上所述，網上提供了許多免費複利計算器，許多手持計算器也可以執行這些任務。

• 透過Financial-Calculators.com提供的免費複利計算器操作簡單，提供從每日到每年的複利頻率選擇。它 包括選擇連續混合和 還允許輸入實際的日曆開始和結束日期。在輸入必要的計算資料後，結果顯示利息收入、未來價值、年百分比收益率（APY），即 一種包括複利、利息和日利息的方法。
• 美國證券交易委員會（SEC）運營的網站Investor.gov提供免費的線上複利計算器。計算器相當簡單，但它允許每月向本金輸入額外存款，這有助於計算每月額外儲蓄存款的收入。
• 一個免費的線上興趣計算器和一些更多的功能，可在計算網站.com。這個計算器允許計算不同的貨幣，能夠考慮每月的存款或取款，並選擇通貨膨脹調整後的每月存款或取款增加額自動計算。

複合頻率

利息可以在任何給定的頻率表上複利，從每天到每年。有標準的複利頻率表，通常適用於金融工具。

銀行儲蓄賬戶常用的組合計劃是每天。對於CD，典型的組合頻率計劃為每日、每月或半年；對於貨幣市場賬戶，通常是每天。對於住房抵押貸款、住房權益貸款、個人商業貸款或信用卡賬戶，最常用的組合計劃是每月。

應計利息實際記入現有餘額的時間範圍也可能有所不同。帳戶的利息可以每日複利，但只能按月貸記。只有當利息實際記入貸方，或加到現有餘額中時，它才開始在賬戶中賺取額外利息。

一些銀行還提供一種稱為連續複利（continuous complexing interest）的服務，這種服務可以在任何可能的瞬間為本金增加利息。從實際的角度來說，除非你想在同一天把錢放進去取出，否則它不會產生比每日複利多得多的利息。

更頻繁的複利對投資者或債權人有利。對於借款人來說，情況恰恰相反。

貨幣對價時間價值

瞭解貨幣的時間價值和複利帶來的指數增長，對於尋求最佳化收入和財富配置的投資者至關重要。

未來值（FV）和現值（PV）的計算公式如下：

例如，1萬美元的未來價值按每年5%的比例複利三年：

11576.25美元的現值按5%折現三年：

1.157625的倒數等於0.8638376，是本例中的貼現繫數。

“72法則”的考慮

所謂的72法則計算的是一項投資以給定的回報率或利息“i”翻倍的大致時間，由（72/i）給出。它只能用於年度複利。

例如，年回報率為6%的投資將在12年內翻一番。因此，年回報率為8%的投資將在9年內翻番。

複合年增長率

複合年增長率（CAGR）用於大多數需要計算一段時間內單一增長率的金融應用。

假設你的投資組合在五年內從10000美元增長到16000美元；什麼是複合年增長率？本質上，這意味著PV=-$10000，FV=$16000，nt=5，所以必須計算變數“i”。使用財務計算器或Excel可以顯示i=9.86%。

根據現金流慣例，您的初始投資（PV）為10000美元，顯示為負號，因為它代表資金流出。PV和FV必須有相反的符號來求解上述方程中的“i”。

cagr實際應用

複合年增長率廣泛用於計算股票、共同基金和投資組合在一段時間內的回報。複合年增長率還用於確定共同基金經理或投資組合經理在一段時間內是否超過了市場的回報率。例如，如果一個市場指數在五年期內提供了10%的總回報，但一個基金經理在同一時期內僅創造了9%的年回報，那麼該經理的表現就不如市場。

複合年增長率還可以用來計算長期投資組合的預期增長率，這對於退休儲蓄等用途很有用。考慮以下示例：

例1：風險厭惡型投資者對其投資組合的年回報率僅為3%感到滿意。因此，她目前10萬美元的投資組合在20年後將增至180611美元。相比之下，一個風險承受能力強的投資者，如果預期其投資組合的年回報率為6%，那麼20年後，10萬美元將增至320714美元。

例2：複合年增長率可用於估計為實現特定目標需要存多少錢。如果一對夫婦想在10年記憶體5萬美元作為一套公寓的首付，那麼如果他們假設他們的儲蓄年回報率（CAGR）為4%，那麼他們每年需要節省4165美元。如果他們準備承擔一點額外的風險，並預計複合年增長率為5%，他們將需要每年節省3975美元。

例3：CAGR也可以用來證明投資早而不是晚的優點。如果目標是在65歲退休時以6%的複合年增長率為基礎，將100萬美元儲蓄，25歲的人每年需要節省6462美元，以實現這一目標。另一方面，40歲的人需要節省18227美元，即幾乎是這一數額的三倍，才能實現同一目標。

• 複合年增長率也經常出現在經濟資料中。舉個例子：中國的人均國內生產總值從1980年的193美元增加到2012年的6091美元。在這32年期間，人均國內生產總值的年增長率是多少？在這種情況下，增長率“i”是令人印象深刻的11.4%。

複利的利弊

雖然複利的魔力導致了阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）稱之為世界第八大奇跡或人類最偉大的發明的虛構故事，但複利也可以對那些擁有信用卡債務等高利率貸款的消費者起作用。如果信用卡餘額為20000美元，按每月20%的複利計算，一年內的複利總額為4388美元，即每月365美元。

從積極的一面來看，複利的魔力在你的投資中對你有利，而且可以成為創造財富的有力因素。複利帶來的指數增長對於緩解諸如生活成本上升、通貨膨脹和購買力下降等財富侵蝕因素也很重要。

共同基金為投資者提供了獲得複利收益的最簡單方法之一。選擇將共同基金的股息再投資會導致購買更多的基金股份。隨著時間的推移，更多的複利累積，購買更多股票的週期將繼續幫助基金的投資增值。

以一項共同基金投資為例，最初投資額為5000美元，每年增加2400美元。30年平均12%的年回報率，該基金的未來價值為79.85萬美元。複利是投入投資的現金與投資的實際未來價值之間的差額。在這種情況下，如果在30年內繳納77000美元，或每月累計繳納200美元，則複利為未來餘額的72.15萬美元。

當然，複合利息所得應納稅，除非這些錢在稅收保護賬戶中；通常按照與納稅人的稅級相關的標準稅率徵稅。

複利投資

選擇在經紀賬戶內再投資計劃的投資者基本上是在利用複利的力量投資於他們所投資的任何東西。投資者還可以透過購買零息債券體驗複利。傳統的債券發行方式是根據債券發行的原始條件向投資者定期支付利息，由於這些利息是以支票的形式支付給投資者的，因此利息不會複利。

零息債券不向投資者派發利息支票；取而代之的是，這類債券以低於其原值的價格購買，並隨著時間的推移而增長。零息票債券發行人利用複利的力量來增加債券的價值，使其在到期時達到全價。

複利也可以為你工作時，貸款償還。例如，每月兩次付一半的房貸，而不是每月一次付清全部房貸，最終會縮短分期償還期，為你節省大量利息。

說到貸款…

告訴我利息是否複利

《貸款真相法案》（TILA）要求貸款人向潛在借款人披露貸款條款，包括貸款期限內償還的利息總額，以及利息是簡單累積還是複合。

另一種方法是將貸款利率與其年利率（APR）進行比較，TILA還要求貸款人披露這一點。APR將貸款的財務費用（包括所有利息和費用）轉換為簡單利率。利率和APR之間的實質性差異意味著兩種情況中的一種或兩種：您的貸款使用複利，或者除了利息之外還包括巨額貸款費用。即使是同一型別的貸款，根據金融機構的收費和其他成本，貸款機構之間的APR範圍也會有很大差異。

你會註意到你收取的利率也取決於你的信用。向信用良好的人提供的貸款利率比向信用不良的人收取的貸款利率要低得多。

常見問題

什麼是複利的簡單定義(a simple definition of compound interest)？

複利是指與銀行賬戶、貸款或投資相關的利息隨時間呈指數增長而非線性增長的現象。理解這個概念的關鍵是“複合”這個詞，假設你在一家每年支付10%股息的公司裡投資100美元。你可以選擇將這些股息作為現金收入囊中，或將這些款項再投資於額外的股份。如果你選擇第二種選擇，將股息再投資，再加上你最初的100美元投資，那麼你所產生的回報將隨著時間的推移開始增長。

誰從複利中受益？

簡單地說，複利有益於投資者，但“投資者”的含義可以相當廣泛。例如，銀行在放貸時會從複利中獲益，並將獲得的利息再投資於發放額外貸款。當存款人收到銀行賬戶、債券或其他投資的利息時，他們也會從複利中受益。值得註意的是，儘管“複利”一詞包括“利息”一詞，但這一概念適用於通常使用利息一詞的情況，如銀行賬戶和貸款。

複利能讓你發財嗎？

對。事實上，複利可以說是有史以來創造財富最強大的力量。有記錄的商人，放貸人，和各種商人使用複利致富的字面上幾千年。例如，在古巴比倫古城，4000多年前就有人用陶片指導學生學習複利數學。

在現代，沃倫•巴菲特（warrenbuffett）透過一種勤奮而耐心地在長時間內複合投資回報的商業策略，成為世界上最富有的人之一。在可預見的未來，人們很可能會以某種形式利用複利來創造財富。