这是一个基本的，虽然希望相当全面，介绍如何使用向量。从位移、速度和加速度到力和场，矢量以各种各样的方式表现出来。本文致力于向量的数学；它们在具体情况下的应用将在其他地方讨论。

矢量和标量

矢量，或矢量，不仅提供有关数量大小的信息，还提供有关数量方向的信息。当给房子指路时，仅仅说房子在10英里之外是不够的，但是还必须提供这10英里的方向，以便信息有用。作为向量的变量将用粗体变量表示，尽管在变量上方通常会看到用小箭头表示的向量。

正如我们没有说另一个房子在-10英里之外，向量的大小总是一个正数，或者更确切地说是向量“长度”的绝对值（虽然数量可能不是长度，但可能是速度、加速度、力等）。向量前面的负数并不表示大小的变化，而是在向量的方向上。

在上面的示例中，距离是标量（10英里），而位移是矢量（东北方向10英里）。同样，速度是一个标量，而速度是一个矢量。

单位向量是大小为1的向量。表示单位向量的向量通常也是黑体，尽管上面有一克拉（^）表示变量的单位性质。单位向量x，当用克拉表示时，通常被解读为“x-hat”，因为克拉看起来有点像变量上的帽子。

零向量或零向量是幅值为零的向量。本文将其写成0。

矢量分量

矢量通常在坐标系上定向，其中最常用的是二维笛卡尔平面。笛卡尔平面具有标记为x的水平轴和标记为y的垂直轴。矢量在物理学中的一些高级应用要求使用三维空间，其中轴是x、y和z。本文将主要讨论二维系统，尽管概念可以在不太麻烦的情况下小心地扩展到三维。

多维坐标系中的向量可以分解为它们的分量向量。在二维情况下，这会产生x分量和y分量。将向量分解为分量时，向量是分量之和：

thetaFxFyF

注意，这里的数字是向量的大小。我们知道这些分量的方向，但我们试图找到它们的大小，所以我们去掉方向信息，然后执行这些标量计算来计算它们的大小。三角学的进一步应用可以用来寻找这些量之间的其他关系（比如切线），但我认为现在已经足够了。

多年来，学生学习的唯一数学是标量数学。如果你向北走5英里，向东走5英里，你已经走了10英里。添加标量会忽略有关方向的所有信息。

向量的操作有些不同。操纵它们时，必须始终考虑方向。

添加组件

当您添加两个向量时，就好像您获取了向量并将其端到端放置，然后创建了一个从起点到终点的新向量。如果向量有相同的方向，那么这仅仅意味着加上震级，但是如果它们有不同的方向，它可能会变得更复杂。

通过将向量分解为其组件，然后添加组件来添加向量，如下所示：

两个x分量将产生新变量的x分量，而两个y分量将产生新变量的y分量。

向量加法的性质

添加向量的顺序无关紧要。事实上，标量加法的几个属性适用于向量加法：

可以对向量执行的最简单操作是将其乘以标量。这个标量乘法改变了向量的大小。换句话说，它使向量变长或变短。

当乘以负标量时，得到的向量将指向相反的方向。

两个向量的标量积是将它们相乘以获得标量的一种方法。这被写为两个向量的乘法，中间的一个点表示乘法。因此，它通常被称为两个向量的点积。

要计算两个向量的点积，就要考虑它们之间的夹角。换句话说，如果它们有相同的起点，它们之间的角度测量（θ）是多少。dot产品定义为：

阿巴巴

在向量垂直（或θ=90度）的情况下，cosθ为零。因此，垂直向量的点积始终为零。当向量平行（或θ=0度）时，cosθ为1，所以标量积就是量值的乘积。

这些简洁的小事实可以用来证明，如果你知道分量，你可以完全用（二维）方程消除θ的需要：

向量积以a x b的形式表示，通常称为两个向量的叉积。在这种情况下，我们将向量相乘，得到的不是标量，而是向量。这是我们将要处理的向量计算中最棘手的一个，因为它不是可交换的，并且涉及到可怕的右手法则的使用，我将很快谈到这一点。

计算震级

再次，我们考虑两个向量从同一点，与它们之间的角度θ。我们总是取最小的角度，所以θ总是在0到180的范围内，所以结果永远不会是负的。结果向量的大小确定如下：

平行（或反平行）向量的向量积始终为零

向量的方向

向量积将垂直于由这两个向量创建的平面。如果你把平面想象成平放在一张桌子上，那么问题就变成了结果向量是向上（从我们的角度看，我们的“离开”桌子）还是向下（从我们的角度看，我们的“进入”桌子）。

可怕的右手法则

为了弄清楚这一点，您必须应用所谓的右手法则。当我在学校学习物理时，我讨厌右手定则。每次我用它的时候，我都得把书拿出来看看它是如何工作的。希望我的描述会比我被介绍的更加直观。

如果你有一个x b，你将沿着b的长度放置你的右手，这样你的手指（拇指除外）可以弯曲指向a。换句话说，你是在尝试使手掌和右手四个手指之间的角度θ。在这种情况下，拇指将笔直向上伸出（如果你试图向上伸到电脑上，拇指将伸出屏幕）。你的指关节将与两个向量的起点大致对齐。精确性并不重要，但我想让你知道，因为我没有这方面的图片。

然而，如果你正在考虑b x a，你会做相反的事情。你将右手放在a上，手指指向b。如果你想在电脑屏幕上做这件事，你会发现这是不可能的，所以发挥你的想象力吧。你会发现，在这种情况下，你富有想象力的拇指指向电脑屏幕。这是结果向量的方向。

右侧规则显示以下关系：

cabc

abcxcyc

最后的话

在更高的层次上，向量可能变得极其复杂。大学里的所有课程，比如线性代数，都花了大量的时间在矩阵（在这篇介绍中我尽量避免）、向量和向量空间上。这种详细程度超出了本文的范围，但这应该为在物理课堂上执行的大多数向量操作提供必要的基础。如果你打算更深入地学习物理，在你继续学习的过程中，你将被介绍到更复杂的向量概念。