指数分布中位数
一组数据的中值是中间点，其中正好有一半的数据值小于或等于中值。以类似的方式，我们可以考虑连续概率分布的中位数，但不是在一组数据中找到中间值，而是以不同的方式找到分布的中间值。
概率密度函数下的总面积为1，表示100%，因此，其中一半可以表示为一半或50%。数理统计的一个重要思想是，概率由密度函数曲线下的面积表示，该面积由一个积分计算，因此连续分布的中值是实数线上正好一半面积位于左侧的点。
这可以用下面的不恰当积分更简洁地表述。具有密度函数f（X）的连续随机变量X的中值为M，因此：
0.5=∫M−∞f（x）dx0.5=\int{m}^{-\infty}f（x）dx0.5=∫M−∞f（x）dx
指数分布的中值
现在我们计算指数分布Exp（A）的中值。具有此分布的随机变量具有密度函数f（x）=e-x/A/A，用于x任何非负实数。该函数还包含数学常数e，约等于2.71828。
由于x的任何负值的概率密度函数都为零，因此我们所要做的就是积分以下各项并求解M：
0.5 = ∫0M f(x) dx自积分以来∫ e-x/A/A dx=-e-x/A，结果是
0.5 = -e-M/A + 1这意味着0.5=e-M/A，取方程两边的自然对数后，我们得到：
ln(1/2) = -M/A由于1/2=2-1，根据对数的性质，我们写下：
- ln2 = -M/A将两边乘以A，得出中值M=A ln2的结果。
统计学中的中值平均不等式
应提及该结果的一个结果：指数分布Exp（A）的平均值为A，并且由于ln2小于1，因此产品Aln2小于A。这意味着指数分布的中值小于平均值。
如果我们考虑概率密度函数图，这是有意义的。由于长尾效应，该分布向右倾斜。很多时候，当分布向右倾斜时，平均值位于中位数的右侧。
在统计分析方面，这意味着我们通常可以预测，鉴于数据向右倾斜的概率，平均值和中值并不直接相关，这可以表示为中值-均值不等式证明，称为切比雪夫不等式。
作为一个例子，考虑一个数据集，假定一个人在10小时内接收到总共30个访问者，其中访问者的平均等待时间是20分钟，而一组数据可能表明，半数以上的等待时间在20到30分钟之间，如果超过一半的访问者出现在最初的五小时内。
- 发表于 2021-10-09 19:19
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- 分类：数学
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