什么是西格玛场？(a sigma-field?)
集合论中有许多观点支持概率论。一个这样的想法是西格玛场。西格玛域是指样本空间子集的集合，我们应该使用这些子集来建立概率的数学形式定义。sigma字段中的集合构成了样本空间中的事件。
释义
sigma字段的定义要求我们有一个样本空间S以及S的子集集合。如果满足以下条件，则该子集集合为sigma字段：
- 如果子集A在sigma字段中，那么它的补码AC也在sigma字段中。
- 如果a是来自sigma域的可数无穷多个子集，那么所有这些集合的交集和并集也都在sigma域中。
启示
该定义意味着两个特定的集合是每个sigma域的一部分。由于A和AC都在sigma字段中，因此交叉点也在sigma字段中。这个十字路口是空集。因此，空集是每个sigma字段的一部分。
样本空间S也必须是sigma字段的一部分。原因是A和AC的并集必须在西格玛字段中。此并集是示例空间。
推理
这组集合之所以有用，有几个原因。首先，我们将考虑为什么集合和它的补集都应该是Sigma代数的元素。集合论中的补语等价于否定。A的补码中的元素是通用集合中不是A元素的元素。通过这种方式，我们确保如果事件是样本空间的一部分，则未发生的事件也被视为样本空间中的事件。
我们还希望集合的并集和交集在西格玛代数中，因为并集对“或”一词的建模很有用。a或B发生的事件由a和B的并集表示。同样，我们使用交集表示“和”A和B发生的事件由集合A和B的交集表示。
不可能在物理上与无限多个集合相交。然而，我们可以把这看作是有限过程的极限。这就是为什么我们还包括可数多个子集的交集和并集。对于许多无限样本空间，我们需要形成无限并集和交集。
相关理念
与sigma域相关的概念称为子集域。子集域不要求可数无限并和交集是其一部分。相反，我们只需要在子集域中包含有限的并集和交集。
- 发表于 2021-10-09 19:22
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- 分类：数学
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