波動性是衡量風險的關鍵。一般來說，波動率是指標準差，這是一個分散的措施。更大的分散意味著更大的風險，這意味著更高的概率價格侵蝕或投資組合損失這是任何投資者的關鍵資訊。

波動率可以單獨使用，如“對沖基金投資組合的月度波動率為5%”，但該術語也可與回報率指標結合使用，如夏普比率的分母。波動率也是引數風險價值（VAR）的關鍵輸入，其中投資組合風險是波動率的函式。在本文中，我們將向您展示如何計算歷史波動率來確定投資的未來風險。

瞭解波動性

波動率很容易成為最常見的風險衡量指標，儘管它存在不完善之處，其中包括上行價格波動被認為與下行價格波動同樣具有“風險”。我們通常透過觀察歷史波動率來估計未來的波動率。要計算歷史波動率，我們需要採取兩個步驟：

1.計算一系列定期回報（如每日回報）

2.選擇加權方案（如未加權方案）

每日定期股票回報（以下簡稱ui）是指從昨天到今天的回報。註意，如果有股息，我們會把它加到今天的股價上。以下公式用於計算該百分比：

ui=國際單位制−矽−1Si公司−1其中：\begin{aligned}&amp；u\u i=\frac{S\u i-S{i-1}}{S{i-1}}\\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；u\u i=\text{每日定期股票收益率}\end{對齊}​使用者介面​=矽−1​矽​−矽−1​​哪裡：​

然而，就股票價格而言，這種簡單的百分比變化並不像連續複合收益率那樣有用。原因在於，我們無法可靠地將多個時期內的簡單百分比變化數相加，但連續複合回報率可以在更長的時間範圍內進行縮放。這在技術上稱為“時間一致性”。因此，對於股價波動，最好使用以下公式計算連續複合收益：

ui=ln（SiSi−1） u\u i=ln\bigg（\frac{S\u i}{S\u i-1}}\bigg）使用者介面​=ln（矽）−1​矽​​)

例如：谷歌

在下麵的例子中，我們提取了谷歌（NYSE:GOOG）每日收盤價的樣本。該股在2006年8月25日收於373.36美元；前一天收盤價為373.73美元。因此，連續週期收益率為-0.126%，等於該比率的自然對數（ln）[373.26/373.73]。

接下來，我們轉到第二步：選擇權重方案。這包括對我們歷史樣本長度（或大小）的決定。我們是否要測量過去（落後）30天、360天或三年內的每日波動率？

在我們的例子中，我們將選擇一個未加權的30天平均值。換句話說，我們估計的是過去30天的日均波動率。利用樣本方差公式計算：

σn2=1米−1∑i=1米（un）−我−u¯)2其中：σn2=每天的變化率m=最近的m次觀察\begin{aligned}&amp\sigma^2\u n=\frac{1}{m-1}\sum^m{i=1}（u{n-i}-\bar{u}）^2\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\sigma^2\u n=\text{每日變化率}\\&amp；m=\text{最近}m\text{觀察結果}\\&amp\bar u=\text{所有日收益的平均值}（u\u i）\end{對齊}​σ氮氣​=米−11​i=1∑米​(聯合國−我​−u¯)2其中：σ氮氣​=每日變化率m=最近m次觀察​

我們可以看出這是一個樣本方差的公式，因為求和除以（m-1）而不是（m）。你可能期望分母中有一個（m），因為這將有效地平均序列。如果它是an（m），這將產生總體方差。總體方差聲稱擁有整個總體的所有資料點，但當涉及到衡量波動性時，我們從不相信這一點。任何歷史樣本只是一個較大的“未知”人口的子集。所以從技術上講，我們應該使用樣本方差，它在分母中使用（m-1）並產生一個“無偏估計”，來建立一個稍高的方差來捕捉我們的不確定性。

我們的樣本是一個30天的快照，從一個更大的未知（也許是未知）人群中提取。如果我們開啟MS Excel，選擇30天的定期回報範圍（即：30天的系列：-0.126%、0.080%、-1.293%，以此類推），並應用函式=VARA（），我們正在執行上述公式。在谷歌的情況下，我們得到約0.0198%。此數字表示30天期間的樣本日方差。我們取方差的平方根得到標準差。以谷歌為例，0.0198%的平方根約為1.4068%——谷歌歷史日波動率。

特別註意事項

可以對上面的方差公式做兩個簡化的假設。首先，我們可以假設平均日收益率接近於零，這樣我們就可以這樣對待它。這就把求和簡化為回報的平方和。第二，我們可以用（m）代替（m-1）。這將“無偏估計”替換為“最大似然估計”。

這就簡化了上述公式：

方差=σn2=1米∑i=1毫米−i2\begin{aligned}\text{variance}=\sigma^2\u n=\frac{1}{m}\sum^m{i=1}u^2{n-i}\end{aligned}方差=σ氮氣​=m1級​i=1∑米​聯合國−十二​​

同樣，這些都是專業人士在實踐中經常做出的易用性簡化。如果週期足夠短（例如，每日回報），則此公式是可接受的替代方案。換句話說，上面的公式很簡單：方差是收益平方的平均值。在上面的Google系列中，這個公式產生的方差幾乎相同（+0.0198%）。和以前一樣，不要忘了取方差的平方根來得到波動率。

這是一個不加權的方案，因為我們在30天系列中平均每天的收益：每天對平均值貢獻相等的權重。這是常見的，但不是特別準確。實際上，我們通常希望對最近的變化和/或回報給予更多的權重。因此，更先進的方案包括加權方案（例如GARCH模型、指數加權移動平均）為更新資料分配更大的權重

底線

因為發現一種工具或投資組合的未來風險可能很困難，我們經常衡量歷史波動性，並假設“過去就是序幕”。歷史波動率是標準差，如“股票的年化標準差為12%”。我們透過抽樣計算回報，比如30天，252個交易日（一年），3年甚至10年。

在選擇樣本量時，我們面臨著一個典型的權衡：我們想要更多的資料，但要得到它，我們需要回到更遠的時間，這可能會導致收集到可能與未來無關的資料。換句話說，歷史波動率並不能提供一個完美的衡量標準，但它可以幫助你更好地瞭解投資的風險狀況。