数理统计使用各种数学分支的技术来明确证明有关统计的陈述是正确的。我们将看到如何使用微积分来确定卡方分布的最大值（对应于其模式）的上述值，以及找到分布的拐点。

在此之前，我们将讨论最大值和拐点的一般特征。我们还将研究一种计算拐点最大值的方法。

如何用微积分计算模态

对于离散数据集，模式是最常出现的值。在数据的柱状图上，这将由最高的条表示。一旦我们知道了最高的条形图，我们就会查看对应于该条形图基准的数据值。这是我们数据集的模式。

同样的想法也用于处理连续分布。这一次为了找到模式，我们寻找分布中的最高峰值。对于该分布图，峰值的高度为y值。这个y值被称为图形的最大值，因为该值大于任何其他y值。模式是与该最大y值相对应的沿水平轴的值。

虽然我们可以简单地查看分布图来找到模式，但这种方法存在一些问题。我们的准确度只和我们的图表一样好，我们很可能不得不估计。此外，绘制我们的函数可能会有困难。

另一种不需要绘图的方法是使用微积分。我们将使用的方法如下：

1. 从分布的概率密度函数f（x）开始。
2. 计算此函数的一阶导数和二阶导数：f'（x）和f'（x）
3. 将此一阶导数设置为0 f'（x）=0。
4. 解x。
5. 将上一步中的值插入二阶导数并计算。如果结果为负，那么我们在值x处有一个局部最大值。
6. 在上一步中的所有点x处计算函数f（x）。
7. 评估其支持的任何端点上的概率密度函数。因此，如果函数具有闭合区间[a，b]给定的域，则在端点a和b处计算函数。
8. 步骤6和7中的最大值将是函数的绝对最大值。出现此最大值的x值是分布模式。

卡方分布模式

现在我们通过上面的步骤来计算具有r自由度的卡方分布的模式。我们从本文图像中显示的概率密度函数f（x）开始。

f（x）=K xr/2-1e-x/2

这里K是一个常数，包含伽马函数和2的幂。我们不需要知道细节（但是我们可以参考图片中的公式了解这些细节）。

该函数的一阶导数通过乘积规则和链式规则给出：

f'（x）=K（r/2-1）xr/2-2e-x/2-（K/2）xr/2-1e-x/2

我们将此导数设置为零，并将右侧的表达式作为因子：

0=K xr/2-1e-x/2[（r/2-1）x-1-1/2]

由于常数K、指数函数和xr/2-1都不是零，我们可以用这些表达式来划分方程的两边。然后我们有：

0=（r/2-1）x-1-1/2

将方程的两边乘以2：

0=（r-2）x-1-1

因此1=（r-2）x-1，我们通过x=r-2得出结论。这是沿水平轴发生模式的点。它表示卡方分布峰值的x值。

如何用微积分找到拐点

曲线的另一个特征是处理曲线的方式。曲线的部分可以向上凹，就像大写的U形。曲线也可以向下凹，形状像交叉符号∩. 当曲线从下凹变为上凹，反之亦然，我们有一个拐点。

函数的二阶导数检测函数图的凹度。如果二阶导数为正，则曲线向上凹。如果二阶导数为负，则曲线向下凹。当二阶导数等于零时，函数的图变为凹形，我们有一个拐点。

为了找到图形的拐点，我们：

1. 计算函数f'（x）的二阶导数。
2. 将此二阶导数设置为零。
3. 求解上一步中x的方程。

卡方分布的拐点

现在我们来看看如何完成卡方分布的上述步骤。我们从区分开始。从上述工作中，我们发现函数的一阶导数为：

f'（x）=K（r/2-1）xr/2-2e-x/2-（K/2）xr/2-1e-x/2

我们再次区分，使用乘积规则两次。我们有：

f''（x）=K（r/2-1）（r/2-2）xr/2-3e-x/2-（K/2）（r/2-1）xr/2-2e-x/2+（K/4）xr/2-1e-x/2-（K/2）（r/2-1）xr/2-2e-x/2

我们将其设为0，并将两边除以Ke-x/2

0=（r/2-1）（r/2-2）xr/2-3-（1/2）（r/2-1）xr/2-2+（1/4）xr/2-1-（1/2）（r/2-1）xr/2-2

通过组合相似的术语，我们有：

（r/2-1）（r/2-2）xr/2-3-（r/2-1）xr/2-2+（1/4）xr/2-1

将两侧乘以4x3-r/2，得出：

0=（r-2）（r-4）-（2r-4）x+x2。

二次公式现在可以用来解x。

x=[（2r-4）+/-[（2r-4）2-4（r-2）（r-4）]1/2]/2

我们将术语扩展为1/2次方，如下所示：

（4r2-16r+16）-4（r2-6r+8）=8r-16=4（2r-4）

这意味着：

x=[（2r-4）+/-[（4（2r-4）]1/2]/2=（r-2）+/-[2r-4]1/2

由此我们可以看出，有两个拐点。此外，这些点关于分布模式是对称的，因为（r-2）在两个拐点之间。

结论

我们看到了这两个特征是如何与自由度相关的。我们可以使用这些信息来帮助绘制卡方分布。我们还可以将此分布与其他分布进行比较，例如正态分布。我们可以看到，卡方分布的拐点出现在与正态分布拐点不同的地方。