卡方拟合优度检验有助于将理论模型与观测数据进行比较。此测试是一种更通用的卡方检验。与数学或统计学中的任何主题一样，通过一个卡方拟合优度测试的例子，通过一个例子来了解正在发生的事情是有帮助的。

考虑一个标准的牛奶巧克力M＆MS包有六种不同的颜色：红，橙，黄，绿，蓝和棕色。假设我们对这些颜色的分布感到好奇，并问，这六种颜色的比例是否相等？这类问题可以通过拟合优度测试来回答。

背景

首先，我们要注意设置以及拟合优度测试适用的原因。我们的颜色变量是分类的。此变量有六个级别，对应于六种可能的颜色。我们将假设我们统计的M&M将是所有M&M总体中的一个简单随机样本。

无效和替代假设

拟合优度检验的无效假设和替代假设反映了我们对总体的假设。因为我们正在测试颜色是否以相同的比例出现，所以我们的无效假设是所有颜色都以相同的比例出现。更正式地说，如果p1是红色糖果的总体比例，p2是橙色糖果的总体比例，依此类推，那么无效假设是p1=p2=…=p6=1/6。

另一种假设是，至少有一个人口比例不等于1/6。

实际和预期计数

实际计数是六种颜色中每种颜色的糖果数量。预期计数是指如果无效假设为真，我们将预期的计数。我们会让n成为我们样品的大小。红色糖果的预期数量为p1 n或n/6。事实上，在这个例子中，六种颜色中每种颜色的预期糖果数量只是π的n倍，或n/6。

拟合优度的卡方统计

现在，我们将计算一个特定示例的卡方统计。假设我们有一个简单的随机样本600 M&M糖果，其分布如下：

• 212个糖果是蓝色的。
• 147种糖果是橙色的。
• 103个糖果是绿色的。
• 50个糖果是红色的。
• 46种糖果是黄色的。
• 42种糖果是棕色的。

如果零假设为真，则每种颜色的预期计数为（1/6）x 600=100。现在我们在计算卡方统计量时使用它。

我们计算每种颜色对统计数据的贡献。每一个都是（实际-预期）2/预期的形式：

• 对于蓝色，我们有（212–100）2/100=125.44
• 对于橙色，我们有（147–100）2/100=22.09
• 对于绿色，我们有（103-100）2/100=0.09
• 对于红色，我们有（50-100）2/100=25
• 对于黄色，我们有（46–100）2/100=29.16
• 对于棕色，我们有（42-100）2/100=33.64

然后，我们将所有这些贡献相加，并确定我们的卡方统计为125.44+22.09+0.09+25+29.16+33.64=235.42。

自由度

拟合优度测试的自由度只比变量的级别数少一个。因为有六种颜色，所以我们有6–1=5个自由度。

卡方表与p值

我们计算的卡方统计量235.42对应于具有五个自由度的卡方分布上的特定位置。我们现在需要一个p值，以确定在假设零假设为真的情况下，获得至少与235.42一样极端的检验统计量的概率。

Microsoft的Excel可用于此计算。我们发现，我们对五个自由度的检验统计量的p值为7.29 x 10-49。这是一个非常小的p值。

决策规则

我们根据p值的大小决定是否拒绝零假设。因为我们有一个非常小的p值，所以我们拒绝了零假设。我们得出结论，M&M在六种不同颜色中的分布并不均匀。后续分析可用于确定一种特定颜色的总体比例的置信区间。